证明：连接$CM$，

$\because DM$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore \angle ADM=90^{\circ}$，$AD=DC$，$AM=CM$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=\angle ADM=90^{\circ}$，
$\therefore DM$∥$CB$，
$\therefore AM=BM$，
在$Rt\triangle ACB$中，点$M$是$AB$的中点，
$\therefore CM=MB$，
$\therefore$点$M$在$BC$的垂直平分线上.

证明：连接$CM$，

$\because DM$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore \angle ADM=90^{\circ}$，$AD=DC$，$AM=CM$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=\angle ADM=90^{\circ}$，
$\therefore DM$∥$CB$，
$\therefore AM=BM$，
在$Rt\triangle ACB$中，点$M$是$AB$的中点，
$\therefore CM=MB$，
$\therefore$点$M$在$BC$的垂直平分线上.