【问题情境】
$(1)$课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图$1$,$E$是$BC$的中点,$\angle BAE=\angle CDE$,$D$,$A$,$E$三点共线.
求证:$AB=CD$.
小明在组内经过合作交流,得到解决方法:延长$AE$至点$F$,使得$AE=EF$,连结$CF$.请根据小明的方法思考:由已知和作图能得到$\triangle ABE$≌$\triangle FCE$,依据是______.
$A.SSS$
$B.SAS$
$C.AAS$
$D.HL$
由全等三角形、等腰三角形的性质可得$AB=CD$.
【初步运用】
$(2)$如图$2$,在$\triangle BGC$中,$GF$平分$\angle BGC$,$E$为$BC$的中点,过点$E$作$ED$∥$GF$,分别交$CG$的延长线和$BG$于点$D$、点$A$.求证:$AB=CD$.
【拓展运用】
$(3)$如图$3$,在（1）的基础上（即$E$是$BC$的中点,$\angle BAE=\angle CDE$,$D$,$A$,$E$三点共线）,连结$AC$,若$\angle CAE=2\angle BAE$,当$AD=6$,$BC=10$时,求$AE$的长.