$\left(1\right)|x+1|=1$，
故$x+1=1$或$x+1=-1$，
即$x=0$或$x=-2$，
故答案为：$0$或$-2$；
$(2)$由题意得：$|x-1|$表示$x$与$1$的距离，$|x-2|$表示$x$与$2$的距离，
$\therefore |x-1|+|x-2|$的最小值是表示$x$与$1$，$x$与$2$距离和的最小值，
此时$x$在$1$和$2$之间，
$\therefore |x-1|+|x-2|$有最小值是$1$；
故答案为：$1$；
$(3)$当$x \lt 1$时，$|x-1|-|x-2|=-x+1+x-2=-1$，
当$1\leqslant x\leqslant 2$时，$|x-1|-|x-2|=x-1+x-2=2x-3$，
$\therefore -1\leqslant 2x-3\leqslant 1$，
当$x \gt 2$时，$|x-1|-|x-2|=x-1-x+2=1$，
$\therefore |x-1|-|x-2|$有最大值是$1$；
故答案为：$1$；
$(4)\because |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+\cdots +|x-2023|+|x-2024|$表示$x$到$1$，$2$，$3$，$\ldots$，$2023$，$2024$的点的距离的和，
$\therefore$当$1012\leqslant x\leqslant 1013$时，$|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+\cdots +|x-2023|+|x-2024|$最小.
$\therefore$不妨取$x=1012$，其最小值为：$1011\left(1011+1\right)+1012=1024144$.
$(5)$由题意，$\because$每相邻两个绝对值的差的最大值为$1$，
$\therefore |x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|+\ldots \ldots +|x-2023|-|x-2024|$的最大值为：$1012\times 1=1012$.

$\left(1\right)|x+1|=1$，
故$x+1=1$或$x+1=-1$，
即$x=0$或$x=-2$，
故答案为：$0$或$-2$；
$(2)$由题意得：$|x-1|$表示$x$与$1$的距离，$|x-2|$表示$x$与$2$的距离，
$\therefore |x-1|+|x-2|$的最小值是表示$x$与$1$，$x$与$2$距离和的最小值，
此时$x$在$1$和$2$之间，
$\therefore |x-1|+|x-2|$有最小值是$1$；
故答案为：$1$；
$(3)$当$x \lt 1$时，$|x-1|-|x-2|=-x+1+x-2=-1$，
当$1\leqslant x\leqslant 2$时，$|x-1|-|x-2|=x-1+x-2=2x-3$，
$\therefore -1\leqslant 2x-3\leqslant 1$，
当$x \gt 2$时，$|x-1|-|x-2|=x-1-x+2=1$，
$\therefore |x-1|-|x-2|$有最大值是$1$；
故答案为：$1$；
$(4)\because |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+\cdots +|x-2023|+|x-2024|$表示$x$到$1$，$2$，$3$，$\ldots$，$2023$，$2024$的点的距离的和，
$\therefore$当$1012\leqslant x\leqslant 1013$时，$|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+\cdots +|x-2023|+|x-2024|$最小.
$\therefore$不妨取$x=1012$，其最小值为：$1011\left(1011+1\right)+1012=1024144$.
$(5)$由题意，$\because$每相邻两个绝对值的差的最大值为$1$，
$\therefore |x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|+\ldots \ldots +|x-2023|-|x-2024|$的最大值为：$1012\times 1=1012$.