$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=BC=AC$，$\angle A=\angle B=\angle ACB=60^{\circ}$，
由折叠的性质可得：$\angle DFE=\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \angle FDE+\angle FED=180^{\circ}-\angle DFE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，故①正确，符合题意；
$\because \angle DFE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AFD+\angle CFE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，
$\because \angle ADF=180^{\circ}-\angle A-\angle AFD$，$\angle CEF=180^{\circ}-\angle CFE-\angle FCE$，
$\therefore \angle ADF+\angle CEF=360^{\circ}-\angle A-\angle FCE-\left(\angle AFD+\angle CFE\right)=120^{\circ}=2\angle A$，故②正确，符合题意；
$\because AB=BC$，$BD$和$BE$的关系是变化的，
$\therefore AD$不一定等于$2EC$，故③错误，不符合题意；
$\because AF=1$，$FC=3$，
$\therefore AC=1+3=4$，
$\therefore BC=AC=4$，
根据轴对称的性质及三角形三边关系可得$OF+OC$的最小值即为$BC$的长，
$\therefore OF+OC$的最小值为$4$，故④正确，符合题意；
综上所述，其中结论正确的有①②④，
故答案为：①②④.

$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=BC=AC$，$\angle A=\angle B=\angle ACB=60^{\circ}$，
由折叠的性质可得：$\angle DFE=\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \angle FDE+\angle FED=180^{\circ}-\angle DFE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，故①正确，符合题意；
$\because \angle DFE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AFD+\angle CFE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，
$\because \angle ADF=180^{\circ}-\angle A-\angle AFD$，$\angle CEF=180^{\circ}-\angle CFE-\angle FCE$，
$\therefore \angle ADF+\angle CEF=360^{\circ}-\angle A-\angle FCE-\left(\angle AFD+\angle CFE\right)=120^{\circ}=2\angle A$，故②正确，符合题意；
$\because AB=BC$，$BD$和$BE$的关系是变化的，
$\therefore AD$不一定等于$2EC$，故③错误，不符合题意；
$\because AF=1$，$FC=3$，
$\therefore AC=1+3=4$，
$\therefore BC=AC=4$，
根据轴对称的性质及三角形三边关系可得$OF+OC$的最小值即为$BC$的长，
$\therefore OF+OC$的最小值为$4$，故④正确，符合题意；
综上所述，其中结论正确的有①②④，
故答案为：①②④.