D

由$a$和$|a|$都在数轴上，
$\therefore$原点再$a$、$|a|$的中间，.
$\therefore a \lt 0$，故①正确；
$\because b=|b|$，由数轴知，$|a| \lt |b|$，
$\therefore |a|-|b| \lt 0$，$a+b \gt 0$，故②错误，③正确；
$\because b \gt 0$，$a \lt 0$，
$\therefore b-a \gt 0$，故④正确；根据异号两数相加的法则，$a+b=+\left(|b|-|a|\right)$，故⑤正确.
综上，正确的有①③④⑤.
故选：$D$.