D

$\because$点$P\left(2m+3n,2\right)$与点$Q\left(6,3m-2n\right)$关于$x$轴对称，
$\therefore 2m+3n=6$，$3m-2n=-2$，
解得$m=\frac{6}{13}$，$n=\frac{22}{13}$，
$\therefore BC=26m+13n=12+22=34$，
$\because$边$AB$，$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$M$，$G$，
$\therefore AM=BM$，$AG=GC$，
$\therefore BC=BM+MG+GC=AM+MG+AG=34$，
$\therefore \triangle AMG$的周长为$34$.
故选：$D$.