（1）当$|x-\frac{2}{3}|=2$时，

则$x-\frac{2}{3}=\pm 2$，

解得：$x=\frac{8}{3}$或$-\frac{4}{3}$；

$(2)Q=|x+6|-|x-5|$存在最大值为$11$；

理由：分三种情况：

当$x\leqslant -6$时，$Q=|x+6|-|x-5|=-x-6+x-5=-11$；

当$-6 \lt x\leqslant 5$时，$Q=|x+6|-|x-5|=x+6+x-5=2x+1$，

则$-11 \lt 2x+1\leqslant 11$；

当$x \gt 5$时，$Q=|x+6|-|x-5|=x+6-\left(x-5\right)=11$；

$\therefore Q$的最大值为$11$；

$(3)Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$，

当$x \lt -2024$时，

$Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$

$=-x-2023-2024-x+2\left(2026-x\right)$

$=-4x+5\gt 8101$

当$-2024\leqslant x \lt -2023$时，

$Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$

$=-x-2023+2024+x+2\left(2026-x\right)$

$=4053-2x$，

而$8099\color{red}{＜}4053-2x\le 8101$，

当$-2023\leqslant x\leqslant 2026$时，

$Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$

$=x+2023+2024+x+2\left(2026-x\right)$

$=8099$，

当$\gt 2026$时，

$Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$

$=x+2023+2024+x+2\left(x-2026\right)$

$=4x-5 \gt 8099$，

$\therefore Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$的值最小时为$8099$，

此时$-2023\leqslant x\leqslant 2026$，

$\therefore$整数$x$所有可能的值的和为：

$-2023-2022-2021-2020-...-2-1+0+1+2+...+2023+2024+2025+2026$

$=0+2024+2025+2026$

$=6075$.

（1）当$|x-\frac{2}{3}|=2$时，

则$x-\frac{2}{3}=\pm 2$，

解得：$x=\frac{8}{3}$或$-\frac{4}{3}$；

$(2)Q=|x+6|-|x-5|$存在最大值为$11$；

理由：分三种情况：

当$x\leqslant -6$时，$Q=|x+6|-|x-5|=-x-6+x-5=-11$；

当$-6 \lt x\leqslant 5$时，$Q=|x+6|-|x-5|=x+6+x-5=2x+1$，

则$-11 \lt 2x+1\leqslant 11$；

当$x \gt 5$时，$Q=|x+6|-|x-5|=x+6-\left(x-5\right)=11$；

$\therefore Q$的最大值为$11$；

$(3)Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$，

当$x \lt -2024$时，

$Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$

$=-x-2023-2024-x+2\left(2026-x\right)$

$=-4x+5\gt 8101$

当$-2024\leqslant x \lt -2023$时，

$Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$

$=-x-2023+2024+x+2\left(2026-x\right)$

$=4053-2x$，

而$8099\color{red}{＜}4053-2x\le 8101$，

当$-2023\leqslant x\leqslant 2026$时，

$Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$

$=x+2023+2024+x+2\left(2026-x\right)$

$=8099$，

当$\gt 2026$时，

$Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$

$=x+2023+2024+x+2\left(x-2026\right)$

$=4x-5 \gt 8099$，

$\therefore Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$的值最小时为$8099$，

此时$-2023\leqslant x\leqslant 2026$，

$\therefore$整数$x$所有可能的值的和为：

$-2023-2022-2021-2020-...-2-1+0+1+2+...+2023+2024+2025+2026$

$=0+2024+2025+2026$

$=6075$.