如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC \gt 90^{\circ}$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$BC$于点$E$,$F$,$AC$的垂直平分线分别交$AC$,$BC$于点$M$,$N$,直线$EF$,$MN$交于点$P$.
$(1)$求证:点$P$在线段$BC$的垂直平分线上；
$(2)$连接$AP$,求证:$AP$平分$\angle FAN$；
$(3)$设$\angle FAN=\alpha$,其他条件不变时,$\angle FPN$的度数是______$.($用含$\alpha$的代数式表示）