$(1)$证明：如图，连接$PA$，$PB$，$PC$.

$\because PE$垂直平分$AB$，$PM$垂直平分$AC$，
$\therefore PA=PB$，$PA=PC$，
$\therefore PB=PC$，
$\therefore$点$P$在线段$BC$的垂直平分线上.
$(2)$证明：由（1）知$PB=PC$，
$\therefore \angle PBF=\angle PCN$，
$\because PE$垂直平分$AB$，
$\therefore PA=PB$，$FA=FB$，
$\therefore \angle PAB=\angle PBA$，$\angle FAB=\angle FBA$，
$\therefore \angle PAF=\angle PBF$，
同理$\angle PAN=\angle PCN$，
$\therefore \angle PAF=\angle PAN$，即$AP$平分$\angle FAN$.
$(3)$$\because PE$垂直平分$AB$，$PM$垂直平分$AC$，
$\therefore FA=FB$，$NA=NC$，$\angle AEP=\angle AMP=90^{\circ}$，
设$\angle B=x$，$\angle C=y$，
$\therefore \angle B=x=\angle BAF$，$\angle C=y=\angle CAN$，
在$\triangle ABC$中，$\angle B+\angle C+\angle CAB=180^{\circ}$，$\angle FAN=\alpha$，
$\therefore x+y+x+y+\alpha =180^{\circ}$，即$\frac{{180°-α}}{2}=x+y$，
在四边形$AEPM$中，$\angle AEP+\angle AMP+\angle EAM+\angle FPN=360^{\circ}$，
$\therefore ∠FPN=360°-90°-90°-({x+y+α})=180°-({\frac{{180°-α}}{2}+α})=\frac{{180°-α}}{2}$，
故答案为：$\frac{{180°-α}}{2}$.

$(1)$证明：如图，连接$PA$，$PB$，$PC$.

$\because PE$垂直平分$AB$，$PM$垂直平分$AC$，
$\therefore PA=PB$，$PA=PC$，
$\therefore PB=PC$，
$\therefore$点$P$在线段$BC$的垂直平分线上.
$(2)$证明：由（1）知$PB=PC$，
$\therefore \angle PBF=\angle PCN$，
$\because PE$垂直平分$AB$，
$\therefore PA=PB$，$FA=FB$，
$\therefore \angle PAB=\angle PBA$，$\angle FAB=\angle FBA$，
$\therefore \angle PAF=\angle PBF$，
同理$\angle PAN=\angle PCN$，
$\therefore \angle PAF=\angle PAN$，即$AP$平分$\angle FAN$.
$(3)$$\because PE$垂直平分$AB$，$PM$垂直平分$AC$，
$\therefore FA=FB$，$NA=NC$，$\angle AEP=\angle AMP=90^{\circ}$，
设$\angle B=x$，$\angle C=y$，
$\therefore \angle B=x=\angle BAF$，$\angle C=y=\angle CAN$，
在$\triangle ABC$中，$\angle B+\angle C+\angle CAB=180^{\circ}$，$\angle FAN=\alpha$，
$\therefore x+y+x+y+\alpha =180^{\circ}$，即$\frac{{180°-α}}{2}=x+y$，
在四边形$AEPM$中，$\angle AEP+\angle AMP+\angle EAM+\angle FPN=360^{\circ}$，
$\therefore ∠FPN=360°-90°-90°-({x+y+α})=180°-({\frac{{180°-α}}{2}+α})=\frac{{180°-α}}{2}$，
故答案为：$\frac{{180°-α}}{2}$.