如图$1$,菱形$ABCD$的周长为$24$,$\angle ABC=60^{\circ}$,点$G$为对角线$BD$上一点,且$BG=4$.动点$P$从点$O$出发,沿$O\rightarrow A\rightarrow B$移动到点$B$时停止运动（点$P$不与点$O$、点$B$重合).设点$P$的运动路程为$x$,$\triangle PBG$的面积为$y$.

请回答以下问题:
$(1)$直接写出$y$与$x$之间的函数关系式,并注明自变量$x$的取值范围:
$(2)$在图$2$的平面直角坐标系中画出$y$与$x$的函数图象,并写出该函数的一条性质；
$(3)$若${y}_{1}=-\frac{x}{2}+5$的函数图象如图$2$所示,结合你画出的$y$与$x$的函数图象,直接写出当$y \lt y_{1}$时,自变量$x$的取值范围.