由题意可知，$BM=AN=6$，
①如图，当点$M$在$AB$的延长线上时，作$MD\bot AC$于$D$.

在$Rt\triangle AMD$中，
$\because \angle ADM=90^{\circ}$，$\angle A=60^{\circ}$，$AM=16$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AM=8$，
$\therefore CD=AC-AD=2$，
$\because MN=MC$，$MD\bot CN$，
$\therefore DN=CD$，
$\therefore CN=2CD=4$.
②如图，当点$M$在$BA$的延长线上时，作$MD\bot CN$于$D$，

在$Rt\triangle AMD$中，
$\because \angle ADM=90^{\circ}$，$\angle DAM=60^{\circ}$，$AM=16$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AM=8$，
$\therefore CD=AD+AC=18$，
$\because MN=MC$，$MD\bot CN$，
$\therefore DN=CD$，
$\therefore CN=2CD=36$，
故答案为：$4$或$36$.

由题意可知，$BM=AN=6$，
①如图，当点$M$在$AB$的延长线上时，作$MD\bot AC$于$D$.

在$Rt\triangle AMD$中，
$\because \angle ADM=90^{\circ}$，$\angle A=60^{\circ}$，$AM=16$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AM=8$，
$\therefore CD=AC-AD=2$，
$\because MN=MC$，$MD\bot CN$，
$\therefore DN=CD$，
$\therefore CN=2CD=4$.
②如图，当点$M$在$BA$的延长线上时，作$MD\bot CN$于$D$，

在$Rt\triangle AMD$中，
$\because \angle ADM=90^{\circ}$，$\angle DAM=60^{\circ}$，$AM=16$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AM=8$，
$\therefore CD=AD+AC=18$，
$\because MN=MC$，$MD\bot CN$，
$\therefore DN=CD$，
$\therefore CN=2CD=36$，
故答案为：$4$或$36$.