连接$AP$，$AH$.

$\because AB=AC=13$，$\triangle ABC$的周长为$36$，
$\therefore BC=36-2\times 13=10$.
$\because H$是$BC$的中点，
$\therefore BH=\frac{1}{2}BC=5$.
$\because \triangle ABC$是等腰三角形，点$H$是$BC$边的中点，
$\therefore AH\bot BC$，
$\therefore AH=\sqrt{A{B^2}-B{H^2}}=\sqrt{{{13}^2}-{5^2}}=12$.
$\because MN$是线段$AB$的垂直平分线，
$\therefore$点$B$关于直线$MN$的对称点为点$A$，
$\therefore AP=BP$，
$\therefore BP+PH=AP+PH\geqslant AH$，
$\therefore AH$的长为$PB+PH$的最小值，
$\therefore PB+PH$的最小值为$12$.
故答案为：$12$.

连接$AP$，$AH$.

$\because AB=AC=13$，$\triangle ABC$的周长为$36$，
$\therefore BC=36-2\times 13=10$.
$\because H$是$BC$的中点，
$\therefore BH=\frac{1}{2}BC=5$.
$\because \triangle ABC$是等腰三角形，点$H$是$BC$边的中点，
$\therefore AH\bot BC$，
$\therefore AH=\sqrt{A{B^2}-B{H^2}}=\sqrt{{{13}^2}-{5^2}}=12$.
$\because MN$是线段$AB$的垂直平分线，
$\therefore$点$B$关于直线$MN$的对称点为点$A$，
$\therefore AP=BP$，
$\therefore BP+PH=AP+PH\geqslant AH$，
$\therefore AH$的长为$PB+PH$的最小值，
$\therefore PB+PH$的最小值为$12$.
故答案为：$12$.