B

蚂蚁也可以沿$A-B-C$的路线爬行，$AB+BC=5$，
把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点$A$、$C$的最短距离为线段$AC$的长.
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ADC=90^{\circ}$，$CD=AB=3$，$AD$为底面半圆弧长，$AD=\pi$，
$\therefore AC=\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$
$=\sqrt{{3}^{2}+{π}^{2}}$
$=\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$
$=3\sqrt{2} \lt 5$，
$\therefore$它爬行的最短距离是$3\sqrt{2}$，
故选：$B$.