问题背景:比较$\sqrt{13}+1$和$2\sqrt{5}$的大小.小松同学在解答这道题时,先建立一个直角三角形$ABC$,使得$\angle C=90^{\circ}$,$AC=2$,$BC=3$,延长$CB$到点$D$,使得$BD=1$,连接$AD$,如图所示,这样借助几何构图,就能解决这道代数问题,我们把这种方法称为构图法.
$(1)$请将$\sqrt{13}+1$和$2\sqrt{5}$比较大小的结果直接写在横线上______；
方法迁移:
$(2)$若$\sqrt{9-{x}^{2}}+\sqrt{16-{x}^{2}}=5($其中$x \gt 0)$,请利用构图法求出$x$的值；
拓展应用:
$(3)$若$\sqrt{4{m}^{2}-{x}^{2}}+\sqrt{{({m}^{2}-1)}^{2}-{x}^{2}}={m}^{2}+1(m \gt 1$,$x \gt 0$,$x\neq 2m$且$x\neq m^{2}-1)$,请直接写出$x=$______(用含$m$的代数式表示).