$\because$四边形$ABCD$和四边形$DPFG$都是正方形，
$\therefore AD=CD=AB=8$，$PD=DG$，$\angle ADC=\angle PDG=90^{\circ}$.
如图，取$AD$的中点$N$，连接$PN$，

$\because$点$N$是$AD$的中点，$E$是$DC$的中点，$AD=CD=AB=8$，
$\therefore AN=DN=DE=4$，
$\because \angle ADC=\angle PDG=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADP=\angle CDG$，
又$\because DP=DG$，
$\therefore \triangle DNP$≌$\triangle DEG\left(SAS\right)$，
$\therefore EG=PN$，
$\because$点$P$是对角线$AC$上的一动点，
$\therefore$当$NP\bot AC$时，$NP$有最小值，即此时$EG$有最小值，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle DAC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ANP=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle ANP$是等腰直角三角形，
$\therefore AP^{2}+PN^{2}=AN^{2}$，$AP=PN$，
$\therefore 2PN^{2}=4^{2}$，
$\therefore PN=2\sqrt{2}$，
$\therefore EG$的最小值为$2\sqrt{2}$，
故答案为：$2\sqrt{2}$.

$\because$四边形$ABCD$和四边形$DPFG$都是正方形，
$\therefore AD=CD=AB=8$，$PD=DG$，$\angle ADC=\angle PDG=90^{\circ}$.
如图，取$AD$的中点$N$，连接$PN$，

$\because$点$N$是$AD$的中点，$E$是$DC$的中点，$AD=CD=AB=8$，
$\therefore AN=DN=DE=4$，
$\because \angle ADC=\angle PDG=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADP=\angle CDG$，
又$\because DP=DG$，
$\therefore \triangle DNP$≌$\triangle DEG\left(SAS\right)$，
$\therefore EG=PN$，
$\because$点$P$是对角线$AC$上的一动点，
$\therefore$当$NP\bot AC$时，$NP$有最小值，即此时$EG$有最小值，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle DAC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ANP=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle ANP$是等腰直角三角形，
$\therefore AP^{2}+PN^{2}=AN^{2}$，$AP=PN$，
$\therefore 2PN^{2}=4^{2}$，
$\therefore PN=2\sqrt{2}$，
$\therefore EG$的最小值为$2\sqrt{2}$，
故答案为：$2\sqrt{2}$.