【知识准备】
若数轴上点$A$对应的数为$x$,点$B$对应的数为$y$,$M$为$AB$的中点,则我们有中点公式:点$M$对应的数为$\frac{x+y}{2}$.（1）在一条数轴上,$O$为原点,点$C$对应的数为$c$,点$D$对应的数为$d$,且有$|c-3+d|+\left(d+2\right)^{2}=0$,则$CD$的中点所对应的数为______；
【问题探究】
$(2)$在（1）的条件下,若点$P$从点$C$出发,以每秒$1$个单位长度的速度向左运动,同时点$Q$从点$D$出发,以每秒$2$个单位长度的速度向右运动.设运动时间为$t$秒,$t$为何值时,$PQ$的中点所对应的数为$10$?
【拓展延伸】
$(3)$若数轴上点$A$对应的数为$x$,点$B$对应的数为$y$,$M$为$AB$靠近点$A$的三等分点,则我们有三等分点公式:点$M$对应的数为$\frac{2x+y}{3}$；若数轴上点$A$的对应数为$x$,点$B$的对应数为$y$,$M$为$AB$最靠近点$A$的四等分点,则我们有四等分点公式:点$M$对应的数为:$\frac{3x+y}{4}$.
①填空:若数轴上点$A$的对应数为$x$,点$B$的对应数为$y$,$M$为$AB$最靠近点$B$的五等分点.则点$M$对应的数为______.
②在（2）的条件下,若$E$是$PQ$最靠近$Q$的五等分点,$F$为$PC$的中点,则是否存在$t$,使得$\frac{5}{7}OE+2OF$为定值?若存在,请求出$t$的取值范围和此时的定值.若不存在,说明理由.