A

连接$AG$，$AD$，

$\because$直线$EF$垂直平分线段$AB$，
$\therefore AG=BG$，
$\because$点$D$为边$BC$的中点，$BC=6$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=3$，
$\therefore \triangle BDG$周长$=BG+DG+BD=AG+DG+3\geqslant AD+3$，
$\therefore \triangle BDG$周长的最小值为$AD+2$，
$\because AB=AC$，点$D$为边$BC$的中点，
$\therefore AD\bot BC$，
$\because BC=6$，$S_{\triangle ABC}=27$，
$\therefore \frac{1}{2}\times 6AD=27$，
解得$AD=9$，
$\therefore \triangle BDG$周长的最小值为$9+3=12$，
故选：$A$.