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八年级数学解答题一般
题目
在△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,点DD是直线BCBC上一点（不与BB、CC重合）,以ADAD为一边在ADAD的右侧作△ADE\triangle ADE,使AD=AEAD=AE,∠DAE=∠BAC\angle DAE=\angle BAC,连接CECE.

(1)(1)如图11,当点DD在线段BCBC上,且∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}.
①证明:△ABD\triangle ABD≌△ACE\triangle ACE；
②证明:ACAC平分∠BCE\angle BCE.
(2)(2)如图22,当点DD在直线BCBC上,设∠BAC=α\angle BAC=\alpha,∠BCE=β\angle BCE=\beta.则α\alpha,β\beta之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.
知识点：全等三角形的判定、等腰三角形的性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：①∵∠DAE=∠BAC=90∘\because \angle DAE=\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC\therefore \angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△BAD\triangle BAD和△CAE\triangle CAE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\ AD=AE\end{array}\right.，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)；
②∵△ABC\because \triangle ABC中，AB=ACAB=AC，
∴∠B=∠ACB\therefore \angle B=\angle ACB，
由①得△BAD\triangle BAD≌△CAE\triangle CAE，
∴∠B=∠ACE\therefore \angle B=\angle ACE，
∴∠ACB=∠ACE\therefore \angle ACB=\angle ACE，
∴AC\therefore AC平分∠BCE\angle BCE.
(2)(2)α+β=180∘\alpha +\beta =180^{\circ}或α=β\alpha =\beta；理由如下：
①点DD在线段BCBC上，如图2.12.1：

∵∠DAE=∠BAC\because \angle DAE=\angle BAC，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC\therefore \angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△BAD\triangle BAD和△CAE\triangle CAE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\ AD=AE\end{array}\right.，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)；
∴∠B=∠ACE\therefore \angle B=\angle ACE，
在△ABC\triangle ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180∘\angle BAC+\angle B+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACE+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+∠BCE=180∘\therefore \angle BAC+\angle BCE=180^{\circ}，
∵∠BAC=α\because \angle BAC=\alpha，∠BCE=β\angle BCE=\beta，
∴α+β=180∘\therefore \alpha +\beta =180^{\circ}；
②当点DD在射线BCBC上时，如图2.22.2：

∵∠DAE=∠BAC\because \angle DAE=\angle BAC，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC\therefore \angle BAC+\angle DAC=\angle DAE+\angle DAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△BAD\triangle BAD和△CAE\triangle CAE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\ AD=AE\end{array}\right.，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)，
∴∠B=∠ACE\therefore \angle B=\angle ACE，
在△ABC\triangle ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180∘\angle BAC+\angle B+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACE+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+∠BCE=180∘\therefore \angle BAC+\angle BCE=180^{\circ}，
∵∠BAC=α\because \angle BAC=\alpha，∠BCE=β\angle BCE=\beta，
∴α+β=180∘\therefore \alpha +\beta =180^{\circ}；
③当点DD在射线CBCB上时，如图2.32.3：

同理可得△BAD\triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)，
∴∠ABD=∠ACE\therefore \angle ABD=\angle ACE，
在△ABC\triangle ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+180∘−∠ABD+∠ACE−∠BCE=180∘\therefore \angle BAC+180^{\circ}-\angle ABD+\angle ACE-\angle BCE=180^{\circ}，
∴∠BAC=∠BCE\therefore \angle BAC=\angle BCE.
∵∠BAC=α\because \angle BAC=\alpha，∠BCE=β\angle BCE=\beta，
∴α=β\therefore \alpha =\beta；
综上所述α\alpha，β\beta之间的数量关系为：α+β=180∘\alpha +\beta =180^{\circ}或α=β\alpha =\beta.

解析

(1)(1)证明：①∵∠DAE=∠BAC=90∘\because \angle DAE=\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC\therefore \angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△BAD\triangle BAD和△CAE\triangle CAE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\ AD=AE\end{array}\right.，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)；
②∵△ABC\because \triangle ABC中，AB=ACAB=AC，
∴∠B=∠ACB\therefore \angle B=\angle ACB，
由①得△BAD\triangle BAD≌△CAE\triangle CAE，
∴∠B=∠ACE\therefore \angle B=\angle ACE，
∴∠ACB=∠ACE\therefore \angle ACB=\angle ACE，
∴AC\therefore AC平分∠BCE\angle BCE.
(2)(2)α+β=180∘\alpha +\beta =180^{\circ}或α=β\alpha =\beta；理由如下：
①点DD在线段BCBC上，如图2.12.1：

∵∠DAE=∠BAC\because \angle DAE=\angle BAC，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC\therefore \angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△BAD\triangle BAD和△CAE\triangle CAE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\ AD=AE\end{array}\right.，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)；
∴∠B=∠ACE\therefore \angle B=\angle ACE，
在△ABC\triangle ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180∘\angle BAC+\angle B+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACE+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+∠BCE=180∘\therefore \angle BAC+\angle BCE=180^{\circ}，
∵∠BAC=α\because \angle BAC=\alpha，∠BCE=β\angle BCE=\beta，
∴α+β=180∘\therefore \alpha +\beta =180^{\circ}；
②当点DD在射线BCBC上时，如图2.22.2：

∵∠DAE=∠BAC\because \angle DAE=\angle BAC，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC\therefore \angle BAC+\angle DAC=\angle DAE+\angle DAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△BAD\triangle BAD和△CAE\triangle CAE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\ AD=AE\end{array}\right.，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)，
∴∠B=∠ACE\therefore \angle B=\angle ACE，
在△ABC\triangle ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180∘\angle BAC+\angle B+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACE+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+∠BCE=180∘\therefore \angle BAC+\angle BCE=180^{\circ}，
∵∠BAC=α\because \angle BAC=\alpha，∠BCE=β\angle BCE=\beta，
∴α+β=180∘\therefore \alpha +\beta =180^{\circ}；
③当点DD在射线CBCB上时，如图2.32.3：

同理可得△BAD\triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)，
∴∠ABD=∠ACE\therefore \angle ABD=\angle ACE，
在△ABC\triangle ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+180∘−∠ABD+∠ACE−∠BCE=180∘\therefore \angle BAC+180^{\circ}-\angle ABD+\angle ACE-\angle BCE=180^{\circ}，
∴∠BAC=∠BCE\therefore \angle BAC=\angle BCE.
∵∠BAC=α\because \angle BAC=\alpha，∠BCE=β\angle BCE=\beta，
∴α=β\therefore \alpha =\beta；
综上所述α\alpha，β\beta之间的数量关系为：α+β=180∘\alpha +\beta =180^{\circ}或α=β\alpha =\beta.

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