如图,在锐角三角形$ABC$中,点$D$,$E$分别在边$AB$,$AC$上,连接$DE$,将$\triangle ADE$沿$DE$翻折后,点$A$落在$BC$边上的点$P$,当$\triangle BDP$和$\triangle CEP$均为等腰三角形时,我们把线段$DE$称为$\triangle ABC$的完美翻折线,$P$为完美点.

$(1)$如图$1$,等边$\triangle ABC$的边长为$4$,边$BC$的中点$P$是完美点,写出完美翻折线$DE$的长.
$(2)$如图$2$,已知$DE$为$\triangle ABC$的完美翻折线,$P$为完美点.当$\angle B$,$\angle C$都为等腰三角形顶角时,求此时$\angle A$的度数.
$(3)$已知在$\triangle ABC$中,$AB=6$,$AC=5$,
①在（2）的条件下,求$BC$的长.
②如图$3$,$DE$为$\triangle ABC$的完美翻折线,$P$为完美点,当$\angle B$,$\angle EPC$为顶角时,求$\frac{{BP}}{{CP}}$的值.