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八年级数学解答题一般
题目
如图,在锐角三角形ABCABC中,点DD,EE分别在边ABAB,ACAC上,连接DEDE,将△ADE\triangle ADE沿DEDE翻折后,点AA落在BCBC边上的点PP,当△BDP\triangle BDP和△CEP\triangle CEP均为等腰三角形时,我们把线段DEDE称为△ABC\triangle ABC的完美翻折线,PP为完美点.

(1)(1)如图11,等边△ABC\triangle ABC的边长为44,边BCBC的中点PP是完美点,写出完美翻折线DEDE的长.
(2)(2)如图22,已知DEDE为△ABC\triangle ABC的完美翻折线,PP为完美点.当∠B\angle B,∠C\angle C都为等腰三角形顶角时,求此时∠A\angle A的度数.
(3)(3)已知在△ABC\triangle ABC中,AB=6AB=6,AC=5AC=5,
①在（2）的条件下,求BCBC的长.
②如图33,DEDE为△ABC\triangle ABC的完美翻折线,PP为完美点,当∠B\angle B,∠EPC\angle EPC为顶角时,求BPCP\frac{{BP}}{{CP}}的值.
知识点：等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、菱形的判定、轴对称变换、作图——轴对称变换、相似三角形的判定与性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)∵△ABC\left(1\right)\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘\therefore \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}，AB=AC=4AB=AC=4，
∵P\because P为△ABC\triangle ABC的完美点，
∴△ADE\therefore \triangle ADE≌△PDE\triangle PDE，△BDP\triangle BDP和△PEC\triangle PEC是等腰三角形，
∵∠B=∠C=60∘\because \angle B=\angle C=60^{\circ}
∴△BDP\therefore \triangle BDP和△PEC\triangle PEC是等边三角形，
∴BD=DP\therefore BD=DP，PE=CEPE=CE，
又∵AD=DP\because AD=DP，AE=PEAE=PE，
∴AD=BD=12AB\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB，AE=CE=12ACAE=CE=\frac{1}{2}AC，
∵AB=4\because AB=4，
∴AD=AE=2\therefore AD=AE=2，
∴△ADE\therefore \triangle ADE是等边三角形，
∴DE=2\therefore DE=2.
(2)(2)连接APAP，设∠DAP=α\angle DAP=\alpha，∠EAP=β\angle EAP=\beta，

∵DE\because DE为△ABC\triangle ABC的完美翻折线，
∴△ADE\therefore \triangle ADE≌△PDE\triangle PDE，
∴AD=DP\therefore AD=DP，AE=PEAE=PE，
∴∠DPA=∠DAP=α\therefore \angle DPA=\angle DAP=\alpha，∠EPA=∠EAP=β\angle EPA=\angle EAP=\beta，
∴∠BDP=2α\therefore \angle BDP=2\alpha，∠PEC=2β\angle PEC=2\beta，
∵△BDP\because \triangle BDP和△PEC\triangle PEC是等腰三角形，且∠B\angle B，∠C\angle C都为顶角，
∴BD=BP\therefore BD=BP，CP=CECP=CE，
∴∠BPD=∠BDP=2α\therefore \angle BPD=\angle BDP=2\alpha，∠CPE=∠PEC=2β\angle CPE=\angle PEC=2\beta，
∵∠BPD+∠DPE+∠CPE=180∘\because \angle BPD+\angle DPE+\angle CPE=180^{\circ}，
∴3α+3β=180∘\therefore 3\alpha +3\beta =180^{\circ}，
∴α+β=60∘\therefore \alpha +\beta =60^{\circ}，
即∠BAC=60∘\angle BAC=60^{\circ}.
(3)(3)①过BB作BM⊥ACBM\bot AC于点MM，

由（2）得，∠A=60∘\angle A=60^{\circ}，
∵∠AMB=90∘\because \angle AMB=90^{\circ}，
∴∠ABM=30∘\therefore \angle ABM=30^{\circ}，
∴AM=12AB=3\therefore AM=\frac{1}{2}AB=3，BM=3AM=33BM=\sqrt{3}AM=3\sqrt{3}，
∵AC=5\because AC=5，
∴CM=2\therefore CM=2，
由勾股定理得：BC2=BM2+CM2=31BC^{2}=BM^{2}+CM^{2}=31，又BC>0BC \gt 0
∴BC=31\therefore BC=\sqrt{31}.
②连接APAP，过PP作PH⊥ABPH\bot AB于点HH，PN⊥ACPN\bot AC于点NN，
∵DE\because DE为△ABC\triangle ABC的完美翻折线，

∴△ADE\therefore \triangle ADE≌△PDE\triangle PDE，△BDP\triangle BDP和△PEC\triangle PEC是等腰三角形，
设∠DAP=α\angle DAP=\alpha，∠EAP=β\angle EAP=\beta，
∴∠DPA=∠DAP=α\therefore \angle DPA=\angle DAP=\alpha，∠EPA=∠EAP=β\angle EPA=\angle EAP=\beta，
∴∠BDP=2α\therefore \angle BDP=2\alpha，∠PEC=2β\angle PEC=2\beta，
∵∠B\because \angle B，∠EPC\angle EPC为顶角，
∴BD=BP\therefore BD=BP，PE=PCPE=PC，
∴∠BPD=∠BDP=2α\therefore \angle BPD=\angle BDP=2\alpha，∠PEC=∠PCE=2β\angle PEC=\angle PCE=2\beta，
∴∠EPC=180∘−4β\therefore \angle EPC=180^{\circ}-4\beta，
∵∠BPD+∠DPE+∠EPC=180∘\because \angle BPD+\angle DPE+\angle EPC=180^{\circ}，
∴2α+α+β+180∘−4β=180∘\therefore 2\alpha +\alpha +\beta +180^{\circ}-4\beta =180^{\circ}，
∴α=β\therefore \alpha =\beta，APAP为∠BAC\angle BAC的平分线，
∴PH=PN\therefore PH=PN，
又S△ABP=12AB×PH{S_{△ABP}}=\frac{1}{2}AB×PH，S△ACP=12AC×PN{S_{△ACP}}=\frac{1}{2}AC×PN，
∴S△ABPS△ACP=ABAC=BPCP=65\therefore \frac{{{S_{△ABP}}}}{{{S_{△ACP}}}}=\frac{{AB}}{{AC}}=\frac{{BP}}{{CP}}=\frac{6}{5}.

解析

(1)∵△ABC\left(1\right)\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘\therefore \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}，AB=AC=4AB=AC=4，
∵P\because P为△ABC\triangle ABC的完美点，
∴△ADE\therefore \triangle ADE≌△PDE\triangle PDE，△BDP\triangle BDP和△PEC\triangle PEC是等腰三角形，
∵∠B=∠C=60∘\because \angle B=\angle C=60^{\circ}
∴△BDP\therefore \triangle BDP和△PEC\triangle PEC是等边三角形，
∴BD=DP\therefore BD=DP，PE=CEPE=CE，
又∵AD=DP\because AD=DP，AE=PEAE=PE，
∴AD=BD=12AB\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB，AE=CE=12ACAE=CE=\frac{1}{2}AC，
∵AB=4\because AB=4，
∴AD=AE=2\therefore AD=AE=2，
∴△ADE\therefore \triangle ADE是等边三角形，
∴DE=2\therefore DE=2.
(2)(2)连接APAP，设∠DAP=α\angle DAP=\alpha，∠EAP=β\angle EAP=\beta，

∵DE\because DE为△ABC\triangle ABC的完美翻折线，
∴△ADE\therefore \triangle ADE≌△PDE\triangle PDE，
∴AD=DP\therefore AD=DP，AE=PEAE=PE，
∴∠DPA=∠DAP=α\therefore \angle DPA=\angle DAP=\alpha，∠EPA=∠EAP=β\angle EPA=\angle EAP=\beta，
∴∠BDP=2α\therefore \angle BDP=2\alpha，∠PEC=2β\angle PEC=2\beta，
∵△BDP\because \triangle BDP和△PEC\triangle PEC是等腰三角形，且∠B\angle B，∠C\angle C都为顶角，
∴BD=BP\therefore BD=BP，CP=CECP=CE，
∴∠BPD=∠BDP=2α\therefore \angle BPD=\angle BDP=2\alpha，∠CPE=∠PEC=2β\angle CPE=\angle PEC=2\beta，
∵∠BPD+∠DPE+∠CPE=180∘\because \angle BPD+\angle DPE+\angle CPE=180^{\circ}，
∴3α+3β=180∘\therefore 3\alpha +3\beta =180^{\circ}，
∴α+β=60∘\therefore \alpha +\beta =60^{\circ}，
即∠BAC=60∘\angle BAC=60^{\circ}.
(3)(3)①过BB作BM⊥ACBM\bot AC于点MM，

由（2）得，∠A=60∘\angle A=60^{\circ}，
∵∠AMB=90∘\because \angle AMB=90^{\circ}，
∴∠ABM=30∘\therefore \angle ABM=30^{\circ}，
∴AM=12AB=3\therefore AM=\frac{1}{2}AB=3，BM=3AM=33BM=\sqrt{3}AM=3\sqrt{3}，
∵AC=5\because AC=5，
∴CM=2\therefore CM=2，
由勾股定理得：BC2=BM2+CM2=31BC^{2}=BM^{2}+CM^{2}=31，又BC>0BC \gt 0
∴BC=31\therefore BC=\sqrt{31}.
②连接APAP，过PP作PH⊥ABPH\bot AB于点HH，PN⊥ACPN\bot AC于点NN，
∵DE\because DE为△ABC\triangle ABC的完美翻折线，

∴△ADE\therefore \triangle ADE≌△PDE\triangle PDE，△BDP\triangle BDP和△PEC\triangle PEC是等腰三角形，
设∠DAP=α\angle DAP=\alpha，∠EAP=β\angle EAP=\beta，
∴∠DPA=∠DAP=α\therefore \angle DPA=\angle DAP=\alpha，∠EPA=∠EAP=β\angle EPA=\angle EAP=\beta，
∴∠BDP=2α\therefore \angle BDP=2\alpha，∠PEC=2β\angle PEC=2\beta，
∵∠B\because \angle B，∠EPC\angle EPC为顶角，
∴BD=BP\therefore BD=BP，PE=PCPE=PC，
∴∠BPD=∠BDP=2α\therefore \angle BPD=\angle BDP=2\alpha，∠PEC=∠PCE=2β\angle PEC=\angle PCE=2\beta，
∴∠EPC=180∘−4β\therefore \angle EPC=180^{\circ}-4\beta，
∵∠BPD+∠DPE+∠EPC=180∘\because \angle BPD+\angle DPE+\angle EPC=180^{\circ}，
∴2α+α+β+180∘−4β=180∘\therefore 2\alpha +\alpha +\beta +180^{\circ}-4\beta =180^{\circ}，
∴α=β\therefore \alpha =\beta，APAP为∠BAC\angle BAC的平分线，
∴PH=PN\therefore PH=PN，
又S△ABP=12AB×PH{S_{△ABP}}=\frac{1}{2}AB×PH，S△ACP=12AC×PN{S_{△ACP}}=\frac{1}{2}AC×PN，
∴S△ABPS△ACP=ABAC=BPCP=65\therefore \frac{{{S_{△ABP}}}}{{{S_{△ACP}}}}=\frac{{AB}}{{AC}}=\frac{{BP}}{{CP}}=\frac{6}{5}.

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