当$\triangle ABC$为锐角三角形时，

如图$1$，设$AC$的垂直平分线交线段$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，

$\because \angle ADE=40^{\circ}$，$DE\bot AC$，

$\therefore \angle A=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，

$\because AB=AC$，

$\therefore \angle C=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A\right)=65^{\circ}$；

当$\triangle ABC$为钝角三角形时，

如图$2$，设$AC$的垂直平分线交$AC$于点$E$，交$AB$于点$D$，

$\because \angle ADE=40^{\circ}$，$DE\bot AC$，

$\therefore \angle DAC=50^{\circ}$，

$\because AB=AC$，

$\therefore \angle B=\angle C$，

$\because \angle B+\angle C=\angle DAB$，

$\therefore \angle C=25^{\circ}$；

综上可知$\angle C$的度数为$65^{\circ}$或$25^{\circ}$，

故答案为：$65^{\circ}$或$25^{\circ}$.

当$\triangle ABC$为锐角三角形时，

如图$1$，设$AC$的垂直平分线交线段$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，

$\because \angle ADE=40^{\circ}$，$DE\bot AC$，

$\therefore \angle A=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，

$\because AB=AC$，

$\therefore \angle C=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A\right)=65^{\circ}$；

当$\triangle ABC$为钝角三角形时，

如图$2$，设$AC$的垂直平分线交$AC$于点$E$，交$AB$于点$D$，

$\because \angle ADE=40^{\circ}$，$DE\bot AC$，

$\therefore \angle DAC=50^{\circ}$，

$\because AB=AC$，

$\therefore \angle B=\angle C$，

$\because \angle B+\angle C=\angle DAB$，

$\therefore \angle C=25^{\circ}$；

综上可知$\angle C$的度数为$65^{\circ}$或$25^{\circ}$，

故答案为：$65^{\circ}$或$25^{\circ}$.