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九年级数学填空题一般
题目
在一次趣味数学的社团活动中,有这样的一道数学探究性问题.
(1)(1)问题情境:如图11,在△ABC\triangle ABC中,∠A=30∘\angle A=30^{\circ},BC=6BC=6,则△ABC\triangle ABC的外接圆的半径为______；
(2)(2)操作实践:如图22,EE是BCBC边上一点,请用无刻度的直尺与圆规在矩形ABCDABCD内部作出一点PP,使得∠APB=∠AEB\angle APB=\angle AEB,且PA=PB(不写作法,保留作图痕迹)PA=PB(不写作法,保留作图痕迹)；
(3)(3)迁移应用:已知,在△ABC\triangle ABC中,∠A>∠B\angle A \gt \angle B,∠C=60∘\angle C=60^{\circ},AB=4AB=4,则BCBC的取值范围为______.
知识点：勾股定理、正多边形和圆、比例线段、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

（1）连接OBOB、OCOC，如图11，

∵∠A=30∘\because \angle A=30^{\circ}，
∴∠BOC=60∘\therefore \angle BOC=60^{\circ}，
∵OB=OC\because OB=OC，
∴△OBC\therefore \triangle OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=6\therefore OB=OC=BC=6，
∴△ABC\therefore \triangle ABC的外接圆的半径为66.
故答案为：66；
(2)(2)如图22，作ABAB的垂直平分线，交AEAE于点OO，以OO为圆心，OAOA为半径画圆，交垂直平分线于点PP，
；
(3)(3)如图33，作△ABC\triangle ABC的外接圆，

∵∠BAC>∠ABC\because \angle BAC \gt \angle ABC，AB=4AB=4，
当∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}时，BCBC为最长直径，
∵∠C=60∘\because \angle C=60^{\circ}，
∴∠ABC=30∘\therefore \angle ABC=30^{\circ}，
∴BC=2AC\therefore BC=2AC，AB=3AC=4AB=\sqrt{3}AC=4，
∴AC=433\therefore AC=\frac{4}{3}\sqrt{3}，
∴BC=2AC=833\therefore BC=2AC=\frac{8}{3}\sqrt{3}，
当∠BAC=∠ABC\angle BAC=\angle ABC时，△ABC\triangle ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB=4\therefore BC=AC=AB=4，
∵∠BAC>∠ABC\because \angle BAC \gt \angle ABC，
∴BC\therefore BC的取值范围为：4<BC⩽8334 \lt BC\leqslant \frac{8}{3}\sqrt{3}.
故答案为：4<BC⩽8334 \lt BC\leqslant \frac{8}{3}\sqrt{3}.

解析

（1）连接OBOB、OCOC，如图11，

∵∠A=30∘\because \angle A=30^{\circ}，
∴∠BOC=60∘\therefore \angle BOC=60^{\circ}，
∵OB=OC\because OB=OC，
∴△OBC\therefore \triangle OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=6\therefore OB=OC=BC=6，
∴△ABC\therefore \triangle ABC的外接圆的半径为66.
故答案为：66；
(2)(2)如图22，作ABAB的垂直平分线，交AEAE于点OO，以OO为圆心，OAOA为半径画圆，交垂直平分线于点PP，
；
(3)(3)如图33，作△ABC\triangle ABC的外接圆，

∵∠BAC>∠ABC\because \angle BAC \gt \angle ABC，AB=4AB=4，
当∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}时，BCBC为最长直径，
∵∠C=60∘\because \angle C=60^{\circ}，
∴∠ABC=30∘\therefore \angle ABC=30^{\circ}，
∴BC=2AC\therefore BC=2AC，AB=3AC=4AB=\sqrt{3}AC=4，
∴AC=433\therefore AC=\frac{4}{3}\sqrt{3}，
∴BC=2AC=833\therefore BC=2AC=\frac{8}{3}\sqrt{3}，
当∠BAC=∠ABC\angle BAC=\angle ABC时，△ABC\triangle ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB=4\therefore BC=AC=AB=4，
∵∠BAC>∠ABC\because \angle BAC \gt \angle ABC，
∴BC\therefore BC的取值范围为：4<BC⩽8334 \lt BC\leqslant \frac{8}{3}\sqrt{3}.
故答案为：4<BC⩽8334 \lt BC\leqslant \frac{8}{3}\sqrt{3}.

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