在一次趣味数学的社团活动中,有这样的一道数学探究性问题.
$(1)$问题情境:如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle A=30^{\circ}$,$BC=6$,则$\triangle ABC$的外接圆的半径为______；
$(2)$操作实践:如图$2$,$E$是$BC$边上一点,请用无刻度的直尺与圆规在矩形$ABCD$内部作出一点$P$,使得$\angle APB=\angle AEB$,且$PA=PB(不写作法,保留作图痕迹)$；
$(3)$迁移应用:已知,在$\triangle ABC$中,$\angle A \gt \angle B$,$\angle C=60^{\circ}$,$AB=4$,则$BC$的取值范围为______.