如图，连接$OB$、$OC$，
$\because \angle BAC=54^{\circ}$，$AO$为$\angle BAC$的平分线，
$\therefore \angle BAO=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\times 54^{\circ}=27^{\circ}$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-54^{\circ})=63^{\circ}$，
$\because DO$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore OA=OB$，
$\therefore \angle ABO=\angle BAO=27^{\circ}$，
$\therefore \angle OBC=\angle ABC-\angle ABO=63^{\circ}-27^{\circ}=36^{\circ}$，
$\because AO$为$\angle BAC$的平分线，$AB=AC$，
$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle AOC\left(SAS\right)$，
$\therefore OB=OC$，
$\therefore \angle OCB=\angle OBC=36^{\circ}$，
$\because$将$\angle C$沿$EF(E$在$BC$上，$F$在$AC$上）折叠，点$C$与点$O$恰好重合，
$\therefore OE=CE$，
$\therefore \angle COE=\angle OCB=36^{\circ}$，
在$\triangle OCE$中，$\angle OEC=180^{\circ}-\angle COE-\angle OCB=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$.
故答案为：$108$.

如图，连接$OB$、$OC$，
$\because \angle BAC=54^{\circ}$，$AO$为$\angle BAC$的平分线，
$\therefore \angle BAO=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\times 54^{\circ}=27^{\circ}$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-54^{\circ})=63^{\circ}$，
$\because DO$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore OA=OB$，
$\therefore \angle ABO=\angle BAO=27^{\circ}$，
$\therefore \angle OBC=\angle ABC-\angle ABO=63^{\circ}-27^{\circ}=36^{\circ}$，
$\because AO$为$\angle BAC$的平分线，$AB=AC$，
$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle AOC\left(SAS\right)$，
$\therefore OB=OC$，
$\therefore \angle OCB=\angle OBC=36^{\circ}$，
$\because$将$\angle C$沿$EF(E$在$BC$上，$F$在$AC$上）折叠，点$C$与点$O$恰好重合，
$\therefore OE=CE$，
$\therefore \angle COE=\angle OCB=36^{\circ}$，
在$\triangle OCE$中，$\angle OEC=180^{\circ}-\angle COE-\angle OCB=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$.
故答案为：$108$.