$(1)$解$\because EF\bot AB$，$\angle AEF=50^{\circ}$，
$\therefore \angle EAF=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$，
$\because \angle BAD=100^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=180^{\circ}-100^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}$；
故答案为：$40$；
$(2)$证明：过$E$作$EM\bot BC$于$M$，$EN\bot AD$于$N$，

$\because \angle EAF=\angle CAD=40^{\circ}$，
$\therefore AC$平分$\angle DAF$，
$\because EN\bot AD$，$EF\bot AF$，
$\therefore EF=EN$，
同理：$EM=FE$，
$\therefore EN=EM$，
$\because EM\bot BC$，$EN\bot AD$，
$\therefore DE$平分$\angle ADC$；
$(3)$$\because \triangle ADE$的面积$+\triangle CDE$的面积$=\triangle ACD$的面积，
$\therefore \frac{1}{2}AD\cdot EN+\frac{1}{2}CD\cdot EM=6$，
$\therefore \frac{1}{2}(AD+CD)\times EM=6$，
$\because AD=3$，$CD=5$，
$\therefore EM=\frac{3}{2}$，
$\therefore EF=\frac{3}{2}$，
$\therefore \triangle ABE$的面积$=\frac{1}{2}AB\cdot EF=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{3}{2}=3$.
故答案为：$3$.

$(1)$解$\because EF\bot AB$，$\angle AEF=50^{\circ}$，
$\therefore \angle EAF=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$，
$\because \angle BAD=100^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=180^{\circ}-100^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}$；
故答案为：$40$；
$(2)$证明：过$E$作$EM\bot BC$于$M$，$EN\bot AD$于$N$，

$\because \angle EAF=\angle CAD=40^{\circ}$，
$\therefore AC$平分$\angle DAF$，
$\because EN\bot AD$，$EF\bot AF$，
$\therefore EF=EN$，
同理：$EM=FE$，
$\therefore EN=EM$，
$\because EM\bot BC$，$EN\bot AD$，
$\therefore DE$平分$\angle ADC$；
$(3)$$\because \triangle ADE$的面积$+\triangle CDE$的面积$=\triangle ACD$的面积，
$\therefore \frac{1}{2}AD\cdot EN+\frac{1}{2}CD\cdot EM=6$，
$\therefore \frac{1}{2}(AD+CD)\times EM=6$，
$\because AD=3$，$CD=5$，
$\therefore EM=\frac{3}{2}$，
$\therefore EF=\frac{3}{2}$，
$\therefore \triangle ABE$的面积$=\frac{1}{2}AB\cdot EF=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{3}{2}=3$.
故答案为：$3$.