B

$\because BE$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABE=\angle CBE$，
$\because BE\bot AC$，$CD\bot AB$，
$\therefore \angle BEA=\angle BEC=\angle ADC=\angle BDC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DBF+\angle DFB=90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle EFC=90^{\circ}$，
$\because \angle BFD=\angle EFC$，
$\therefore \angle DBF=\angle ACD$，
$\because \angle BDC=90^{\circ}$，$\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DCB=45^{\circ}=\angle ABC$，
$\therefore BD=CD$，
在$\triangle BDF$和$\triangle CDA$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BDF=∠CDA\\ BD=CD\\∠DBF=∠DCA\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BDF$≌$\triangle CDA\left(ASA\right)$，
$\therefore BF=AC$，
在$\triangle BEA$和$\triangle BEC$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ABE=∠CBE\\ BE=BE\\∠BEA=∠BEC\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BEA$≌$\triangle BEC\left(ASA\right)$，
$\therefore AB=BC$，
$\because BF\bot AC$，
$\therefore AE=CE=\frac{1}{2}AC$，
即$AE=\frac{1}{2}BF$，故①正确；
$\because \angle ABC=45^{\circ}$，$AB=BC$，
$\therefore ∠A=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ABC)=67.5°$，故②正确；
$\because BD=CD$，$H$是$BC$边的中点，
$\therefore \angle DHB=90^{\circ}$，
$\because \angle BEC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DGF=\angle BGH=90^{\circ}-\angle CBE$，$\angle DFG=\angle EFC=90^{\circ}-\angle ACD$，
$\therefore \angle DGF=\angle DFG$，
$\therefore \triangle DGF$是等腰三角形，故③正确；
$\because \triangle BEA$≌$\triangle BEC$，
$\therefore S_{\triangle BEA}=S_{\triangle BEC}$，
又$\because \triangle BGD$和$\triangle BHG$的面积不一定相等，
$\therefore S_{四边形ADGE}=S_{四边形GHCE}$，故④错误；
即正确的个数是$4$，
故选：$B$.