等腰$Rt\triangle ABC$,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,点$A$、$C$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上.

$(1)$如图$1$,求证:$\angle BCO=\angle CAO$；
$(2)$如图$2$,若$OA=5$,$OC=2$,求$B$点的坐标；
$(3)$如图$3$,点$C\left(0,3\right)$,$Q$、$A$两点均在$x$轴上,且$AQ=12$.分别以$AC$、$CQ$为腰,第一、第二象限作等腰$Rt\triangle CAN$、等腰$Rt\triangle QCM$,连接$MN$交$y$轴于$P$点,$OP$的长度是否发生改变?若不变,求出$OP$的值；若变化,求$OP$的取值范围.