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八年级数学解答题一般
题目
等腰Rt△ABCRt\triangle ABC,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},AC=BCAC=BC,点AA、CC分别在xx轴、yy轴的正半轴上.

(1)(1)如图11,求证:∠BCO=∠CAO\angle BCO=\angle CAO；
(2)(2)如图22,若OA=5OA=5,OC=2OC=2,求BB点的坐标；
(3)(3)如图33,点C(0,3)C\left(0,3\right),QQ、AA两点均在xx轴上,且AQ=12AQ=12.分别以ACAC、CQCQ为腰,第一、第二象限作等腰Rt△CANRt\triangle CAN、等腰Rt△QCMRt\triangle QCM,连接MNMN交yy轴于PP点,OPOP的长度是否发生改变?若不变,求出OPOP的值；若变化,求OPOP的取值范围.
知识点：点的坐标、全等三角形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理、直角三角形的性质、三角形的面积章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)∵∠ACB=90∘\left(1\right)\because \angle ACB=90^{\circ}，∠AOC=90∘\angle AOC=90^{\circ}，
∴∠BCO+∠ACO=90∘=∠CAO+∠ACO\therefore \angle BCO+\angle ACO=90^{\circ}=\angle CAO+\angle ACO，
∴∠BCO=∠CAO\therefore \angle BCO=\angle CAO；
(2)(2)如图22，过点BB作BD⊥yBD\bot y轴于DD，则∠CDB=∠AOC=90∘\angle CDB=\angle AOC=90^{\circ}，

在△CDB\triangle CDB和△AOC\triangle AOC中，
{∠CDB=∠AOC∠BCO=∠CAOBC=AC\left\{\begin{array}{l}∠CDB=∠AOC\\∠BCO=∠CAO\\ BC=AC\end{array}\right.，
∴△CDB\therefore \triangle CDB≌△AOC(AAS)\triangle AOC\left(AAS\right)，
∴BD=CO=2\therefore BD=CO=2，CD=AO=5CD=AO=5，
∴OD=5−2=3\therefore OD=5-2=3，
又∵\because点BB在第三象限，
∴B(−2,−3)\therefore B\left(-2,-3\right)；
(3)OP(3)OP的长度不会发生改变.理由如下：
如图33，过NN作NHNH∥CM,CM,交yy轴于HH，则∠CNH+∠MCN=180∘\angle CNH+\angle MCN=180^{\circ}，

∵△CAN\because \triangle CAN、△QCM\triangle QCM是等腰直角三角形，
∴∠MCQ+∠ACN=180∘\therefore \angle MCQ+\angle ACN=180^{\circ}，
∴∠ACQ+∠MCN=360∘−180∘=180∘\therefore \angle ACQ+\angle MCN=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}，
∴∠CNH=∠ACQ\therefore \angle CNH=\angle ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO=90∘=∠QAC+∠ACO\because \angle HCN+\angle ACO=90^{\circ}=\angle QAC+\angle ACO，
∴∠HCN=∠QAC\therefore \angle HCN=\angle QAC，
在△HCN\triangle HCN和△QAC\triangle QAC中，
{∠CNH=∠ACQCN=AC∠HCN=∠QAC\left\{\begin{array}{l}∠CNH=∠ACQ\\ CN=AC\\∠HCN=∠QAC\end{array}\right.，
∴△HCN\therefore \triangle HCN≌△QAC(ASA)\triangle QAC\left(ASA\right)，
∴CH=AQ\therefore CH=AQ，HN=QCHN=QC，
∵QC=MC\because QC=MC，
∴HN=CM\therefore HN=CM，
∵AQ=12\because AQ=12，
∴CH=12\therefore CH=12，
∵NH\because NH∥CMCM，
∴∠PNH=∠PMC\therefore \angle PNH=\angle PMC，
在△PNH\triangle PNH和△PMC\triangle PMC中，
{∠HPN=∠CPM∠PNH=∠PMCHN=CM\left\{\begin{array}{l}∠HPN=∠CPM\\∠PNH=∠PMC\\ HN=CM\end{array}\right.，
∴△PNH\therefore \triangle PNH≌△PMC(AAS)\triangle PMC\left(AAS\right)，
∴CP=PH=12CH=6\therefore CP=PH=\frac{1}{2}CH=6，
又∵CO=3\because CO=3，
∴OP=3+6=9(定值)\therefore OP=3+6=9(定值)，
即OPOP的长度始终是99.

解析

(1)∵∠ACB=90∘\left(1\right)\because \angle ACB=90^{\circ}，∠AOC=90∘\angle AOC=90^{\circ}，
∴∠BCO+∠ACO=90∘=∠CAO+∠ACO\therefore \angle BCO+\angle ACO=90^{\circ}=\angle CAO+\angle ACO，
∴∠BCO=∠CAO\therefore \angle BCO=\angle CAO；
(2)(2)如图22，过点BB作BD⊥yBD\bot y轴于DD，则∠CDB=∠AOC=90∘\angle CDB=\angle AOC=90^{\circ}，

在△CDB\triangle CDB和△AOC\triangle AOC中，
{∠CDB=∠AOC∠BCO=∠CAOBC=AC\left\{\begin{array}{l}∠CDB=∠AOC\\∠BCO=∠CAO\\ BC=AC\end{array}\right.，
∴△CDB\therefore \triangle CDB≌△AOC(AAS)\triangle AOC\left(AAS\right)，
∴BD=CO=2\therefore BD=CO=2，CD=AO=5CD=AO=5，
∴OD=5−2=3\therefore OD=5-2=3，
又∵\because点BB在第三象限，
∴B(−2,−3)\therefore B\left(-2,-3\right)；
(3)OP(3)OP的长度不会发生改变.理由如下：
如图33，过NN作NHNH∥CM,CM,交yy轴于HH，则∠CNH+∠MCN=180∘\angle CNH+\angle MCN=180^{\circ}，

∵△CAN\because \triangle CAN、△QCM\triangle QCM是等腰直角三角形，
∴∠MCQ+∠ACN=180∘\therefore \angle MCQ+\angle ACN=180^{\circ}，
∴∠ACQ+∠MCN=360∘−180∘=180∘\therefore \angle ACQ+\angle MCN=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}，
∴∠CNH=∠ACQ\therefore \angle CNH=\angle ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO=90∘=∠QAC+∠ACO\because \angle HCN+\angle ACO=90^{\circ}=\angle QAC+\angle ACO，
∴∠HCN=∠QAC\therefore \angle HCN=\angle QAC，
在△HCN\triangle HCN和△QAC\triangle QAC中，
{∠CNH=∠ACQCN=AC∠HCN=∠QAC\left\{\begin{array}{l}∠CNH=∠ACQ\\ CN=AC\\∠HCN=∠QAC\end{array}\right.，
∴△HCN\therefore \triangle HCN≌△QAC(ASA)\triangle QAC\left(ASA\right)，
∴CH=AQ\therefore CH=AQ，HN=QCHN=QC，
∵QC=MC\because QC=MC，
∴HN=CM\therefore HN=CM，
∵AQ=12\because AQ=12，
∴CH=12\therefore CH=12，
∵NH\because NH∥CMCM，
∴∠PNH=∠PMC\therefore \angle PNH=\angle PMC，
在△PNH\triangle PNH和△PMC\triangle PMC中，
{∠HPN=∠CPM∠PNH=∠PMCHN=CM\left\{\begin{array}{l}∠HPN=∠CPM\\∠PNH=∠PMC\\ HN=CM\end{array}\right.，
∴△PNH\therefore \triangle PNH≌△PMC(AAS)\triangle PMC\left(AAS\right)，
∴CP=PH=12CH=6\therefore CP=PH=\frac{1}{2}CH=6，
又∵CO=3\because CO=3，
∴OP=3+6=9(定值)\therefore OP=3+6=9(定值)，
即OPOP的长度始终是99.

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