$(1)$证明：$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle A=55^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB+\angle ABC=125^{\circ}$，
$\because \angle ABP=10^{\circ}$，$\angle ACP=25^{\circ}$，
$\therefore \angle PCB+\angle PBC=125^{\circ}-10^{\circ}-25^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CPB=90^{\circ}$，
$\therefore$点$P$是$\triangle ABC$的一个“勾股点”；
$(2)$$\because \angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC+\angle ACD=90^{\circ}$，
$\because \angle DCB=\angle DAC$，
$\therefore \angle DCB+\angle ACD=90^{\circ}$，即$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\because AD=3CD=3$，$BC=6$，
$\therefore CD=1$，
在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理得：$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，
在$Rt\triangle ACB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{10+{6}^{2}}=\sqrt{46}$；
$(3)$点$D$可以是$\triangle ABC$的“勾股点”.
由题意可知，分三种情况讨论.
①当$\angle ADB=90^{\circ}$时，点$D$是$\triangle ABC$的“勾股点”.
如图，分别过点$A$，$B$作$CD$的垂线，垂足分别为点$E$，$F$.

则$\angle E=\angle F=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE+\angle BDF=\angle BDF+\angle DBF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE=\angle DBF$，
在$\triangle AED$和$\triangle DFB$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠ADE=∠DBF}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AED$≌$\triangle DFB\left(AAS\right)$，
$\therefore AE=DF$，$DE=BF$，
$\because \angle BCD=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CBF=90^{\circ}-\angle BCF=45^{\circ}$，
$\therefore BF=CF$，
$\therefore CF=DE$，
$\therefore DF=CE$，
$\therefore AE=CE$，
$\therefore ∠ACE=\frac{1}{2}(180°-∠E)=45°$，
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle ACE-\angle BCF=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle ACE$中，$AC=8$，
$\therefore AE=CE=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，
$\because DC=2\sqrt{2}$，
$\therefore CF=CD+DF=CD+AE=6\sqrt{2}$，
$\therefore BC=\sqrt{2}CF=12$，
$\therefore AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=4\sqrt{13}$；
②当$\angle CDB=90^{\circ}$时，点$D$是$\triangle ABC$的“勾股点”.
由题可知$\angle BCD=45^{\circ}$，
$\therefore CD=BD$.
又$\because AD=BD$，
$\therefore AD=CD$，
$\because$在$\triangle ACD$中，$\angle ACD=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$，
$\therefore AD \gt CD$，
$\therefore$此种情况不成立.
③当$\angle ADC=90^{\circ}$时，点$D$是$\triangle ABC$的“勾股点”.
$\because$在$\triangle ACD$中，$\angle ACD=135^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC$是锐角，
$\therefore$此种情况不成立.
综上，点$D$可以是$\triangle ABC$的“勾股点”，$AB$的长是$4\sqrt{13}$.
故答案为：$4\sqrt{13}$.

$(1)$证明：$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle A=55^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB+\angle ABC=125^{\circ}$，
$\because \angle ABP=10^{\circ}$，$\angle ACP=25^{\circ}$，
$\therefore \angle PCB+\angle PBC=125^{\circ}-10^{\circ}-25^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CPB=90^{\circ}$，
$\therefore$点$P$是$\triangle ABC$的一个“勾股点”；
$(2)$$\because \angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC+\angle ACD=90^{\circ}$，
$\because \angle DCB=\angle DAC$，
$\therefore \angle DCB+\angle ACD=90^{\circ}$，即$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\because AD=3CD=3$，$BC=6$，
$\therefore CD=1$，
在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理得：$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，
在$Rt\triangle ACB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{10+{6}^{2}}=\sqrt{46}$；
$(3)$点$D$可以是$\triangle ABC$的“勾股点”.
由题意可知，分三种情况讨论.
①当$\angle ADB=90^{\circ}$时，点$D$是$\triangle ABC$的“勾股点”.
如图，分别过点$A$，$B$作$CD$的垂线，垂足分别为点$E$，$F$.

则$\angle E=\angle F=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE+\angle BDF=\angle BDF+\angle DBF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE=\angle DBF$，
在$\triangle AED$和$\triangle DFB$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠ADE=∠DBF}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AED$≌$\triangle DFB\left(AAS\right)$，
$\therefore AE=DF$，$DE=BF$，
$\because \angle BCD=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CBF=90^{\circ}-\angle BCF=45^{\circ}$，
$\therefore BF=CF$，
$\therefore CF=DE$，
$\therefore DF=CE$，
$\therefore AE=CE$，
$\therefore ∠ACE=\frac{1}{2}(180°-∠E)=45°$，
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle ACE-\angle BCF=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle ACE$中，$AC=8$，
$\therefore AE=CE=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，
$\because DC=2\sqrt{2}$，
$\therefore CF=CD+DF=CD+AE=6\sqrt{2}$，
$\therefore BC=\sqrt{2}CF=12$，
$\therefore AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=4\sqrt{13}$；
②当$\angle CDB=90^{\circ}$时，点$D$是$\triangle ABC$的“勾股点”.
由题可知$\angle BCD=45^{\circ}$，
$\therefore CD=BD$.
又$\because AD=BD$，
$\therefore AD=CD$，
$\because$在$\triangle ACD$中，$\angle ACD=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$，
$\therefore AD \gt CD$，
$\therefore$此种情况不成立.
③当$\angle ADC=90^{\circ}$时，点$D$是$\triangle ABC$的“勾股点”.
$\because$在$\triangle ACD$中，$\angle ACD=135^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC$是锐角，
$\therefore$此种情况不成立.
综上，点$D$可以是$\triangle ABC$的“勾股点”，$AB$的长是$4\sqrt{13}$.
故答案为：$4\sqrt{13}$.