某一时刻,与地面垂直的长$2m$的木杆在地面上的影长为$1m$.同一时刻,树$AB$的影子一部分落在地面上,一部分落在坡角为$45^{\circ}$的斜坡上,如图所示.已知落在地面上的影长$AC$为$2m$,落在斜坡上的影长$CD$为$2m$.根据以上条件,可求出树高$AB$为$\left(\ \ \right)($结果精确到$0.1m)$