$(1)$证明：当点$P$运动到$AD$中点时，则$PA=PD=\frac{1}{2}AD$，
$\because$点$M$、$N$分别是$AB$、$BC$中点，$AD=BC=6$，
$\therefore AP=BN$，$AM=BM$，
$\because AP=BN$，$\angle A=\angle B$，$AM=BM$，
$\therefore \triangle PAM$≌$\triangle NBM\left(SAS\right)$；
$(2)$若点$P$以每秒$2$个单位长度的速度运动.
①如图①，当点$P$在边$AD$上时，$PH=2t$.
故答案为：$2t$；
②如图②，当点$P$在边$DC$上时（点$P$不与点$D$重合），
则$PH=DA=6$，$AH=DP=2t-6$，
$\therefore HM=|AM-AH|=|6-\left(2t-6\right)|=|12-2t|$，
若$HM=4$，
则$|12-2t|=4$，
解得：$t=8$或$t=4$.
$(3)$所有满足条件的$x$的值为$1$或$3$或$5$；理由如下：
若点$P$以每秒$x$个单位长度的速度运动，$t=3$时，
当点$P$在边$AD$上时，$\triangle PHM$与$\triangle NBM$全等时，
$\because AM=BM$，$BN=CN=3$，
则$AP=BN$，
$\therefore 3x=3$，
解得：$x=1$；
当点$P$在边$CD$上时，若$\triangle PHM$与$\triangle NBM$全等，
$\because PH=AD=BM=6$，$\angle PHM=\angle B=90^{\circ}$，
则$HM=BN$，
$\because HM=|AM-AH|=|AM-DP|=|6-\left(3x-6\right)|=|12-3x|$，
$\therefore |12-3x|=3$，
解得：$x=3$或$x=5$；
综上，所有满足条件的$x$的值为$1$或$3$或$5$.

$(1)$证明：当点$P$运动到$AD$中点时，则$PA=PD=\frac{1}{2}AD$，
$\because$点$M$、$N$分别是$AB$、$BC$中点，$AD=BC=6$，
$\therefore AP=BN$，$AM=BM$，
$\because AP=BN$，$\angle A=\angle B$，$AM=BM$，
$\therefore \triangle PAM$≌$\triangle NBM\left(SAS\right)$；
$(2)$若点$P$以每秒$2$个单位长度的速度运动.
①如图①，当点$P$在边$AD$上时，$PH=2t$.
故答案为：$2t$；
②如图②，当点$P$在边$DC$上时（点$P$不与点$D$重合），
则$PH=DA=6$，$AH=DP=2t-6$，
$\therefore HM=|AM-AH|=|6-\left(2t-6\right)|=|12-2t|$，
若$HM=4$，
则$|12-2t|=4$，
解得：$t=8$或$t=4$.
$(3)$所有满足条件的$x$的值为$1$或$3$或$5$；理由如下：
若点$P$以每秒$x$个单位长度的速度运动，$t=3$时，
当点$P$在边$AD$上时，$\triangle PHM$与$\triangle NBM$全等时，
$\because AM=BM$，$BN=CN=3$，
则$AP=BN$，
$\therefore 3x=3$，
解得：$x=1$；
当点$P$在边$CD$上时，若$\triangle PHM$与$\triangle NBM$全等，
$\because PH=AD=BM=6$，$\angle PHM=\angle B=90^{\circ}$，
则$HM=BN$，
$\because HM=|AM-AH|=|AM-DP|=|6-\left(3x-6\right)|=|12-3x|$，
$\therefore |12-3x|=3$，
解得：$x=3$或$x=5$；
综上，所有满足条件的$x$的值为$1$或$3$或$5$.