$(1)$数轴上表示$x$与$2$的两点之间的距离可以表示为$|x-2|$，
故答案为：$|x-2|$；
$(2)\because |x-2|=5$，
$\therefore x-2=5$或$x-2=-5$，
$x=7$或$x=-3$，
故答案为：$7$或$-3$；
$(3)\because |x+2|+|x-1|$表示数轴上有理数$x$所对应的点到$-2$和$1$所对应的点的距离之和，
$\therefore |x+2|+|x-1|=3$，
$\therefore$这样的整数有$-2$、$-1$、$0$、$1$，
故答案为：$-2$、$-1$、$0$、$1$；
$(4)$当$x \lt 1$时，
$|x-3|+|x-2|+|x-1|$
$=3-x+2-x+1-x$
$=6-3x$，
$\because x \lt 1$，
$\therefore 6-3x \gt 3$，
当$1\leqslant x \lt 2$时，
$|x-3|+|x-2|+|x-1|$
$=3-x+2-x+x-1$
$=4-x$，
$\because 1\leqslant x \lt 2$，
$\therefore 2 \lt 4-x \lt 3$，
当$2\leqslant x \lt 3$时，
$|x-3|+|x-2|+|x-1|$
$=3-x+x-2+x-1$
$=x$，
$\therefore 2\leqslant x \lt 3$，
当$x\geqslant 3$时，
$|x-3|+|x-2|+|x-1|$
$=x-3+x-2+x-1$
$=3x-6$，
$\because x\geqslant 3$，
$\therefore 3x-6 \gt 3$，
综上所述，$|x-3|+|x-2|+|x-1|$有最小值是$2$.

$(1)$根据距离公式即可解答；
$(2)$利用绝对值求解即可；
$(3)$利用绝对值及数轴求解即可；
$(4)$利用绝对值的意义即可解答.

【点评】

本题考查了数轴和绝对值，掌握去绝对值的方法是解题的关键.

$(1)$数轴上表示$x$与$2$的两点之间的距离可以表示为$|x-2|$，
故答案为：$|x-2|$；
$(2)\because |x-2|=5$，
$\therefore x-2=5$或$x-2=-5$，
$x=7$或$x=-3$，
故答案为：$7$或$-3$；
$(3)\because |x+2|+|x-1|$表示数轴上有理数$x$所对应的点到$-2$和$1$所对应的点的距离之和，
$\therefore |x+2|+|x-1|=3$，
$\therefore$这样的整数有$-2$、$-1$、$0$、$1$，
故答案为：$-2$、$-1$、$0$、$1$；
$(4)$当$x \lt 1$时，
$|x-3|+|x-2|+|x-1|$
$=3-x+2-x+1-x$
$=6-3x$，
$\because x \lt 1$，
$\therefore 6-3x \gt 3$，
当$1\leqslant x \lt 2$时，
$|x-3|+|x-2|+|x-1|$
$=3-x+2-x+x-1$
$=4-x$，
$\because 1\leqslant x \lt 2$，
$\therefore 2 \lt 4-x \lt 3$，
当$2\leqslant x \lt 3$时，
$|x-3|+|x-2|+|x-1|$
$=3-x+x-2+x-1$
$=x$，
$\therefore 2\leqslant x \lt 3$，
当$x\geqslant 3$时，
$|x-3|+|x-2|+|x-1|$
$=x-3+x-2+x-1$
$=3x-6$，
$\because x\geqslant 3$，
$\therefore 3x-6 \gt 3$，
综上所述，$|x-3|+|x-2|+|x-1|$有最小值是$2$.

$(1)$根据距离公式即可解答；
$(2)$利用绝对值求解即可；
$(3)$利用绝对值及数轴求解即可；
$(4)$利用绝对值的意义即可解答.

【点评】

本题考查了数轴和绝对值，掌握去绝对值的方法是解题的关键.