B

如图，延长$EB$至$G$，使$BE=BG$，设$AC$与$DE$交于点$M$，
$\because \angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore AB\bot GE$，
$\therefore AB$垂直平分$GE$，
$\therefore AG=AE$，$\angle GAB=\angle BAE=\frac{1}{2}\angle DAC$，
$\because \angle BAE=\frac{1}{2}\angle GAE$，
$\therefore \angle GAE=\angle CAD$，
$\therefore \angle GAE+\angle EAC=\angle CAD+\angle EAC$，
$\therefore \angle GAC=\angle EAD$，
在$\triangle GAC$与$\triangle EAD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAC=∠EAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle GAC$≌$\triangle EAD\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle G=\angle AED$，$\angle ACB=\angle ADE$，
$\therefore$②是正确的；
$\because AG=AE$，
$\therefore \angle G=\angle AEG=\angle AED$，
$\therefore AE$平分$\angle BED$，
当$\angle BAE=\angle EAC$时，$\angle AME=\angle ABE=90^{\circ}$，则$AC\bot DE$，
当$\angle BAE\neq \angle EAC$时，$\angle AME\neq \angle ABE$，则无法说明$AC\bot DE$，
$\therefore$①是不正确的；
设$\angle BAE=x$，则$\angle CAD=2x$，
$\therefore \angle ACD=\angle ADC=\frac{180°-2x}{2}=90^{\circ}-x$，
$\because AB$∥$CD$，
$\therefore \angle BAC=\angle ACD=90^{\circ}-x$，
$\therefore \angle CAE=\angle BAC-\angle EAB=90^{\circ}-x-x=90^{\circ}-2x$，
$\therefore \angle DAE=\angle CAE+\angle DAC=90^{\circ}-2x+2x=90^{\circ}$，
$\therefore AE\bot AD$，
$\therefore$③是正确的；
$\because \triangle GAC$≌$\triangle EAD$，
$\therefore CG=DE$，
$\because CG=CE+GE=CE+2BE$，
$\therefore DE=CE+2BE$，
$\therefore$④是正确的，
故选：$B$.