（1）如图，$BD$即为所求.

$(2)$设$\angle A=x$，
$\because AD=BD$，
$\therefore \angle ABD=\angle A=x$，
$\therefore \angle BDC=\angle A+\angle ABD=2x$.
$\because BD=BC$，
$\therefore \angle C=\angle BDC=2x$.
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=2x$.
在$\triangle ABC$中，由三角形内角和定理得$\angle A+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}$，
即$x+2x+2x=180^{\circ}$，
$\therefore x=36^{\circ}$，
则$2x=72^{\circ}$，
$\therefore \angle A=36^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB=72^{\circ}$.

（1）如图，$BD$即为所求.

$(2)$设$\angle A=x$，
$\because AD=BD$，
$\therefore \angle ABD=\angle A=x$，
$\therefore \angle BDC=\angle A+\angle ABD=2x$.
$\because BD=BC$，
$\therefore \angle C=\angle BDC=2x$.
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=2x$.
在$\triangle ABC$中，由三角形内角和定理得$\angle A+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}$，
即$x+2x+2x=180^{\circ}$，
$\therefore x=36^{\circ}$，
则$2x=72^{\circ}$，
$\therefore \angle A=36^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB=72^{\circ}$.