$x^{2}-9x+20=0$，
$(x-4)\left(x-5\right)=0$，
$x-4=0$，$x-5=0$，
$x_{1}=4$，$x_{2}=5$，
当等腰三角形三边为$4$，$4$，$8$时，$4+4=8$，不符合三角形三边关系定理，舍去；
当等腰三角形三边为$5$，$5$，$8$时，$4+4=8$，符合三角形三边关系定理，
此时三角形的周长是$5+5+8=18$；
答：这个三角形的周长是$18$.

$x^{2}-9x+20=0$，
$(x-4)\left(x-5\right)=0$，
$x-4=0$，$x-5=0$，
$x_{1}=4$，$x_{2}=5$，
当等腰三角形三边为$4$，$4$，$8$时，$4+4=8$，不符合三角形三边关系定理，舍去；
当等腰三角形三边为$5$，$5$，$8$时，$4+4=8$，符合三角形三边关系定理，
此时三角形的周长是$5+5+8=18$；
答：这个三角形的周长是$18$.