$\because$等腰三角形一边长为$6$，且腰长是底边长的$\frac{2}{3}$，
①如果腰长为$6$，则底边为：$6÷\frac{2}{3}=9$，
$\therefore$等腰三角形的三边为$6$、$6$、$9$，能构成三角形，
$\therefore$这个三角形的周长为：$6+6+9=21$；
②如果底长为$6$，则腰长为：$6\times \frac{2}{3}=4$，
$\therefore$等腰三角形的三边为$6$、$4$、$4$，能构成三角形，
$\therefore$这个三角形的周长为：$6+4+4=14$.
故答案为：$21$或$14$.

$\because$等腰三角形一边长为$6$，且腰长是底边长的$\frac{2}{3}$，
①如果腰长为$6$，则底边为：$6÷\frac{2}{3}=9$，
$\therefore$等腰三角形的三边为$6$、$6$、$9$，能构成三角形，
$\therefore$这个三角形的周长为：$6+6+9=21$；
②如果底长为$6$，则腰长为：$6\times \frac{2}{3}=4$，
$\therefore$等腰三角形的三边为$6$、$4$、$4$，能构成三角形，
$\therefore$这个三角形的周长为：$6+4+4=14$.
故答案为：$21$或$14$.