$\because ab \lt 0$，$|a| \gt |b|$.
$\therefore a$是负数且离原点较远，$b$是正数且离原点较近，
$\therefore$中点所表示的数$a_{3}$在原点的左侧，
$\therefore a_{3} \lt 0$，
因此①正确；
由数轴所表示的数可知，$a_{1} \lt 0$，$a_{4} \gt 0$，
$\therefore a_{1}a_{4} \lt 0$，
因此②不正确；
$\because a \lt a_{3} \lt 0$，
$\therefore$表示数$a$的点到表示数$a_{3}$的点距离既可以表示为$|a-a_{3}|$，也可以表示为$|a|-|a_{3}|$，
$\therefore |a-a_{3}|=|a|-|a_{3}|$，
因此③正确；
$\because$表示数$a_{3}$的点在原点的左侧，而表示数$b$的点在原点的右侧，
$\therefore$表示数$a_{3}$的点到表示数$b$的点距离为$|a_{3}|+|b|$，而总距离为$2(|a_{3}|+|b|)$，
$\therefore |b-a|=2(|a_{3}|+|b|)$，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④.

$\because ab \lt 0$，$|a| \gt |b|$.
$\therefore a$是负数且离原点较远，$b$是正数且离原点较近，
$\therefore$中点所表示的数$a_{3}$在原点的左侧，
$\therefore a_{3} \lt 0$，
因此①正确；
由数轴所表示的数可知，$a_{1} \lt 0$，$a_{4} \gt 0$，
$\therefore a_{1}a_{4} \lt 0$，
因此②不正确；
$\because a \lt a_{3} \lt 0$，
$\therefore$表示数$a$的点到表示数$a_{3}$的点距离既可以表示为$|a-a_{3}|$，也可以表示为$|a|-|a_{3}|$，
$\therefore |a-a_{3}|=|a|-|a_{3}|$，
因此③正确；
$\because$表示数$a_{3}$的点在原点的左侧，而表示数$b$的点在原点的右侧，
$\therefore$表示数$a_{3}$的点到表示数$b$的点距离为$|a_{3}|+|b|$，而总距离为$2(|a_{3}|+|b|)$，
$\therefore |b-a|=2(|a_{3}|+|b|)$，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④.