C

如图

根据黄金分割点的概念，可知$\frac{AP}{PB}=\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\because AB=10$，
$\therefore AQ=PB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\times 10=5\sqrt{5}-5$.
又$\because PQ=AQ+PB-AB$，
$\therefore PQ=5\sqrt{5}-5+5\sqrt{5}-5-10=10\sqrt{5}-20=10(\sqrt{5}-2)$.
故选：$C$.