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八年级数学解答题一般
题目
如图,在\vartriangleABC\vartriangleABC中,点DD在BCBC边上,∠BAD=110∘\angle BAD=110^{\circ},∠ABC\angle ABC的平分线交ACAC于点EE,过点EE作EF⊥ABEF\bot AB,垂足为FF,且∠AEF=55∘\angle AEF=55^{\circ},连接DEDE.

(1)(1)求∠CAD\angle CAD的度数；
(2)(2)求证:DEDE平分∠ADC\angle ADC；
(3)(3)若AB=8AB=8,AD=4AD=4,CD=8CD=8,且S{\DeltaACD}=15S_\{\backslash DeltaACD\}=15,求△ABE\triangle ABE的面积.
知识点：线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质、全等三角形的判定、直角三角形全等的判定、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理、直角三角形的性质、三角形的面积章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)∵EF⊥AB\because EF\bot AB，
∴∠F=90∘\therefore \angle F=90^{\circ}，
∵∠AEF=55∘\because \angle AEF=55^{\circ}，
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90∘+55∘=145∘\therefore \angle BAE=\angle F+\angle AEF=90^{\circ}+55^{\circ}=145^{\circ}，
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD\because \angle BAE=\angle BAD+\angle CAD，∠BAD=110∘\angle BAD=110^{\circ}，
∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=145∘−110∘=35∘\therefore \angle CAD=\angle BAE-\angle BAD=145^{\circ}-110^{\circ}=35^{\circ}，
(2)(2)证明：过点EE作EG⊥ADEG\bot AD交ADAD于点GG，EH⊥BCEH\bot BC交BCBC于点HH，
∵∠F=90∘\because \angle F=90^{\circ}，∠AEF=55∘\angle AEF=55^{\circ}，
∴∠EAF=90∘−55∘=35∘\therefore \angle EAF=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}，
由（1）可知，∠EAF=∠CAD=35∘\angle EAF=\angle CAD=35^{\circ}，
∴AE\therefore AE平分∠FAD\angle FAD，
∵EF⊥AF\because EF\bot AF，EG⊥ADEG\bot AD，
∴EF=EG\therefore EF=EG，
∵BE\because BE平分∠ABC\angle ABC，EF⊥BFEF\bot BF，EH⊥BCEH\bot BC，
∴EF=EH\therefore EF=EH，
∴EG=EH\therefore EG=EH，
∵EG⊥AD\because EG\bot AD，EH⊥BCEH\bot BC，
∴DE\therefore DE平分∠ADC\angle ADC；
(3)(3)∵S△ACD=15\because S_{\triangle ACD}=15，
∴S△ADE+S△CDE=15\therefore S_{\triangle ADE}+S_{\triangle CDE}=15，
∴12AD•EG+12CD•EH=15\therefore \frac{1}{2}AD•EG+\frac{1}{2}CD•EH=15，
∵AD=4\because AD=4，CD=8CD=8，EG=EHEG=EH，
∴12×4×EH+12×8×EH=15\therefore \frac{1}{2}×4×EH+\frac{1}{2}×8×EH=15，
∴EH=156=52\therefore EH=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}，
∴EF=52\therefore EF=\frac{5}{2}，
∵AB=8\because AB=8，
∴S△ABE=12AB•EF=12×8×52=10\therefore {S}_{△ABE}=\frac{1}{2}AB•EF=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10.

解析

(1)(1)∵EF⊥AB\because EF\bot AB，
∴∠F=90∘\therefore \angle F=90^{\circ}，
∵∠AEF=55∘\because \angle AEF=55^{\circ}，
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90∘+55∘=145∘\therefore \angle BAE=\angle F+\angle AEF=90^{\circ}+55^{\circ}=145^{\circ}，
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD\because \angle BAE=\angle BAD+\angle CAD，∠BAD=110∘\angle BAD=110^{\circ}，
∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=145∘−110∘=35∘\therefore \angle CAD=\angle BAE-\angle BAD=145^{\circ}-110^{\circ}=35^{\circ}，
(2)(2)证明：过点EE作EG⊥ADEG\bot AD交ADAD于点GG，EH⊥BCEH\bot BC交BCBC于点HH，
∵∠F=90∘\because \angle F=90^{\circ}，∠AEF=55∘\angle AEF=55^{\circ}，
∴∠EAF=90∘−55∘=35∘\therefore \angle EAF=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}，
由（1）可知，∠EAF=∠CAD=35∘\angle EAF=\angle CAD=35^{\circ}，
∴AE\therefore AE平分∠FAD\angle FAD，
∵EF⊥AF\because EF\bot AF，EG⊥ADEG\bot AD，
∴EF=EG\therefore EF=EG，
∵BE\because BE平分∠ABC\angle ABC，EF⊥BFEF\bot BF，EH⊥BCEH\bot BC，
∴EF=EH\therefore EF=EH，
∴EG=EH\therefore EG=EH，
∵EG⊥AD\because EG\bot AD，EH⊥BCEH\bot BC，
∴DE\therefore DE平分∠ADC\angle ADC；
(3)(3)∵S△ACD=15\because S_{\triangle ACD}=15，
∴S△ADE+S△CDE=15\therefore S_{\triangle ADE}+S_{\triangle CDE}=15，
∴12AD•EG+12CD•EH=15\therefore \frac{1}{2}AD•EG+\frac{1}{2}CD•EH=15，
∵AD=4\because AD=4，CD=8CD=8，EG=EHEG=EH，
∴12×4×EH+12×8×EH=15\therefore \frac{1}{2}×4×EH+\frac{1}{2}×8×EH=15，
∴EH=156=52\therefore EH=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}，
∴EF=52\therefore EF=\frac{5}{2}，
∵AB=8\because AB=8，
∴S△ABE=12AB•EF=12×8×52=10\therefore {S}_{△ABE}=\frac{1}{2}AB•EF=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10.

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