在等腰$\triangle ABC$中，直线$EG$是腰$AC$的垂直平分线，如图$1$，连接$AD$，

$\therefore DA=DC$，
$\therefore DF+DC=DF+DA$，
当点$A$、$D$、$F$三点共线且$AF\bot BC$时，$DF+DA$的值最小，即等于$AF$的长，如图$2$，

$\because BC=4$，等腰$\triangle ABC$的面积为$18$，
$\therefore \frac{1}{2}×4×AF=18$，
$\therefore AF=9$，
$\therefore DF+DC$的最小值为$9$，
故答案为：$9$.

在等腰$\triangle ABC$中，直线$EG$是腰$AC$的垂直平分线，如图$1$，连接$AD$，

$\therefore DA=DC$，
$\therefore DF+DC=DF+DA$，
当点$A$、$D$、$F$三点共线且$AF\bot BC$时，$DF+DA$的值最小，即等于$AF$的长，如图$2$，

$\because BC=4$，等腰$\triangle ABC$的面积为$18$，
$\therefore \frac{1}{2}×4×AF=18$，
$\therefore AF=9$，
$\therefore DF+DC$的最小值为$9$，
故答案为：$9$.