（1）连接$BE$，如图$1$所示：

$\because DE$是$AB$的垂直平分线，

$\therefore BE=AE$，

$\therefore \angle ABE=\angle BAC=30^{\circ}$，

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}-\angle BAC=60^{\circ}$，

$\therefore \angle EBC=\angle ABC-\angle ABE=30^{\circ}$，

在$Rt\triangle BCE$中，$BE=2CE$，

$\therefore AE=2CE$，

$\therefore AC=AE+CE=3CE=6$，

$\therefore CE=2$，

$\because CE=\frac{1}{2}AF$，

$\therefore AF=2CE=4$；

$(2)$连接$BE$，如图$2$所示：

由（1）可知：$BE=AE$，$BE=2CE$，

$\therefore AE=2CE$，

$\because CE=\frac{1}{2}AF$，

$\therefore AF=2CE$，

$\therefore AF=AE$，

$\because AF$∥$BC,\angle ACB=90^{\circ}$，

$\therefore \angle FAE=90^{\circ}$，

$\therefore \triangle AFE$是等腰直角三角形，

$\because AM$平分$\angle FAE$，

$\therefore AM\bot AE$，$AM=FM=EM$，

$\therefore \angle MAG+\angle MGA=90^{\circ}$，$\angle AMG=\angle EMN=90^{\circ}$，

$\because DE$是$AB$的垂直平分线，

$\therefore \angle MEN+\angle DGE=90^{\circ}$，

$\because \angle MGA=\angle DGE$，

$\therefore \angle MAG=\angle MEN$，

在$\triangle MAG$和$\triangle MEN$中，

$\left\{\begin{array}{l}{\angle AMG=\angle EMN=90^\circ }\\{\angle MAG=\angle MEN}\\{AM=EM}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle MAG$≌$\triangle MEN\left(AAS\right)$，

$\therefore MG=MN=a$，

$\therefore EM=MG+GE=a+b$，

$\therefore FM=EM=a+b$，

$\therefore FG=FM+MG=a+b+a=2a+b$.

（1）连接$BE$，如图$1$所示：

$\because DE$是$AB$的垂直平分线，

$\therefore BE=AE$，

$\therefore \angle ABE=\angle BAC=30^{\circ}$，

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}-\angle BAC=60^{\circ}$，

$\therefore \angle EBC=\angle ABC-\angle ABE=30^{\circ}$，

在$Rt\triangle BCE$中，$BE=2CE$，

$\therefore AE=2CE$，

$\therefore AC=AE+CE=3CE=6$，

$\therefore CE=2$，

$\because CE=\frac{1}{2}AF$，

$\therefore AF=2CE=4$；

$(2)$连接$BE$，如图$2$所示：

由（1）可知：$BE=AE$，$BE=2CE$，

$\therefore AE=2CE$，

$\because CE=\frac{1}{2}AF$，

$\therefore AF=2CE$，

$\therefore AF=AE$，

$\because AF$∥$BC,\angle ACB=90^{\circ}$，

$\therefore \angle FAE=90^{\circ}$，

$\therefore \triangle AFE$是等腰直角三角形，

$\because AM$平分$\angle FAE$，

$\therefore AM\bot AE$，$AM=FM=EM$，

$\therefore \angle MAG+\angle MGA=90^{\circ}$，$\angle AMG=\angle EMN=90^{\circ}$，

$\because DE$是$AB$的垂直平分线，

$\therefore \angle MEN+\angle DGE=90^{\circ}$，

$\because \angle MGA=\angle DGE$，

$\therefore \angle MAG=\angle MEN$，

在$\triangle MAG$和$\triangle MEN$中，

$\left\{\begin{array}{l}{\angle AMG=\angle EMN=90^\circ }\\{\angle MAG=\angle MEN}\\{AM=EM}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle MAG$≌$\triangle MEN\left(AAS\right)$，

$\therefore MG=MN=a$，

$\therefore EM=MG+GE=a+b$，

$\therefore FM=EM=a+b$，

$\therefore FG=FM+MG=a+b+a=2a+b$.