已知:如图$,AF$∥$BC,\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle BAC=30^{\circ}$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$AC$于点$D$,$E$,且$CE=\frac{1}{2}AF$,连接$FE$交$AD$于点$G$.
$(1)$若$AC=6$,求线段$AF$的长；
$(2)$作$\angle FAE$的平分线交$FE$于点$M$,交线段$ED$的延长线于点$N$,若$MN=a$,$GE=b$,直接写出线段$FG$的长（用含$a$,$b$的式子表示).