证明：$\left(1\right)\because AB=AC$，$\triangle ADC$和$\triangle ABE$分别是以$AC$、$AB$为腰的等腰直角三角形，

$\therefore AD=AE=AB=AC$，$\angle DAC=\angle EAB=90^{\circ}$，$BE=CD$，

$\therefore \angle DAB=90^{\circ}-\angle DAE=\angle EAC$，

$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle AEC,\left(SAS\right)$，

$\therefore BD=CE$，

$\because CD=BE$，$BC=BC$，

$\therefore \triangle BCD$≌$\triangle CBE\left(SSS\right)$，

$\therefore \angle BCD=\angle CBE$，

$\therefore BF=FC$；

$(2)$由（1）知：$BF=FC$，

$\because AB=AC$，

$\therefore AF$是$BC$的垂直平分线，

$\therefore AF\bot BC$.

证明：$\left(1\right)\because AB=AC$，$\triangle ADC$和$\triangle ABE$分别是以$AC$、$AB$为腰的等腰直角三角形，

$\therefore AD=AE=AB=AC$，$\angle DAC=\angle EAB=90^{\circ}$，$BE=CD$，

$\therefore \angle DAB=90^{\circ}-\angle DAE=\angle EAC$，

$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle AEC,\left(SAS\right)$，

$\therefore BD=CE$，

$\because CD=BE$，$BC=BC$，

$\therefore \triangle BCD$≌$\triangle CBE\left(SSS\right)$，

$\therefore \angle BCD=\angle CBE$，

$\therefore BF=FC$；

$(2)$由（1）知：$BF=FC$，

$\because AB=AC$，

$\therefore AF$是$BC$的垂直平分线，

$\therefore AF\bot BC$.