（1）点$M$表示的数为$m$，点$N$表示的数为$n$，且$m$、$n$满足$\left(m-18\right)^{2}+|n-10|=0$，依题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{m-18=0}\\{n-10=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=18}\\{n=10}\end{array}\right.$，
$\therefore MN=|18-10|=8$；
$(2)$①由题意得，当$P$，$Q$在数轴的正半轴上运动时，
$P$，$Q$两点的运动速度分别为$2$个单位长度$/$秒和$1$个单位长度$/$秒，
故点$P$对应的数为：$18-2t$，点$Q$对应的数为：$10-t$；
②点$P$到达原点需要$18\div 2=9$秒，而点$Q$到达原点需要$10\div 1=10$秒，
分以下三种情况：
当点$P$，$Q$都在原点$O$右侧时，$0\leqslant t\leqslant 9$，
$OP=18-2t$，$QA=10-t-\left(-4\right)=14-t$，
由于$OP=QA$，
$\therefore 18-2t=14-t$，
解得：$t=4$；
当点$P$在原点$O$左侧，$Q$在原点$O$右侧，$9 \lt t\leqslant 10$，点$P$对应的数为：$-\frac{1}{2}×2(t-9)=9-t$，点$Q$对应的数为：$10-t$；
$OP=t-9$，$QA=10-t-\left(-4\right)=14-t$，
由于$OP=QA$，
$\therefore t-9=14-t$，
解得：$t=\frac{23}{2}＞10$，不合题意；
当点$P$，$Q$都在原点$O$左侧时，$t \gt 10$，点$P$对应的数为：$9-t$，点$Q$对应的数为：$-2\left(t-10\right)=20-2t$；
$OP=t-9$，$QA=|20-2t-\left(-4\right)|=|2t-24|$，
由于$OP=QA$，
$\therefore t-9=|2t-24|$，
$\therefore t-9=2t-24$或$t-9=24-2t$
解得：$t=15$或$t=11$，
综上所述，当$OP=QA$时，$t$的值为$4$或$11$或$15$.

（1）点$M$表示的数为$m$，点$N$表示的数为$n$，且$m$、$n$满足$\left(m-18\right)^{2}+|n-10|=0$，依题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{m-18=0}\\{n-10=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=18}\\{n=10}\end{array}\right.$，
$\therefore MN=|18-10|=8$；
$(2)$①由题意得，当$P$，$Q$在数轴的正半轴上运动时，
$P$，$Q$两点的运动速度分别为$2$个单位长度$/$秒和$1$个单位长度$/$秒，
故点$P$对应的数为：$18-2t$，点$Q$对应的数为：$10-t$；
②点$P$到达原点需要$18\div 2=9$秒，而点$Q$到达原点需要$10\div 1=10$秒，
分以下三种情况：
当点$P$，$Q$都在原点$O$右侧时，$0\leqslant t\leqslant 9$，
$OP=18-2t$，$QA=10-t-\left(-4\right)=14-t$，
由于$OP=QA$，
$\therefore 18-2t=14-t$，
解得：$t=4$；
当点$P$在原点$O$左侧，$Q$在原点$O$右侧，$9 \lt t\leqslant 10$，点$P$对应的数为：$-\frac{1}{2}×2(t-9)=9-t$，点$Q$对应的数为：$10-t$；
$OP=t-9$，$QA=10-t-\left(-4\right)=14-t$，
由于$OP=QA$，
$\therefore t-9=14-t$，
解得：$t=\frac{23}{2}＞10$，不合题意；
当点$P$，$Q$都在原点$O$左侧时，$t \gt 10$，点$P$对应的数为：$9-t$，点$Q$对应的数为：$-2\left(t-10\right)=20-2t$；
$OP=t-9$，$QA=|20-2t-\left(-4\right)|=|2t-24|$，
由于$OP=QA$，
$\therefore t-9=|2t-24|$，
$\therefore t-9=2t-24$或$t-9=24-2t$
解得：$t=15$或$t=11$，
综上所述，当$OP=QA$时，$t$的值为$4$或$11$或$15$.