已知$b$是最小的正整数,且$a$,$b$满足$\left(c-5\right)^{2}+|a+b|=0$.请回答问题:
$(1)$请直接写出$a$,$b$,$c$的值$a=$______,$b=$______,$c=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$图中,$a$,$b$,$c$所对应的点分别为$A$,$B$,$C$,点$P$为一动点,其对应的数为$x$,点$P$在$0$到$2$之间运动时,即$0\leqslant x\leqslant 2$时,请化简式子$|x+1|-|x-1|+2|x+5|(请写出化简过程)$.