同学们都知道:$|5-\left(-2\right)|$表示$5$与$-2$之差的绝对值,实际上也可理解为$5$与$-2$两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助数轴进行以下探索:
$(1)$数轴上表示$x$与$-5$的两点之间的距离可以表示为______.
$(2)$同样的道理,$|x+2|+|x-1|$表示数轴上有理数$x$所对应的点到$-2$和$1$所对应的点的距离之和,请你找出所有符合条件的整数$x$,使得$|x+2|+|x-1|=3$,这样的整数是______.
$(3)$根据数轴,若$|x+2|+|x-3|+|x-5|+|x+a|$的最小值是$13$,请直接写出$a$的值.
$(4)$由以上探索猜想$|x+6|+|x-13|+2|x-200|$是否有最小值?如果有,直接写出最小值,并求出所有符合条件的整数$x$的和；如果没有,说明理由.