（1）数轴上表示$x$与$-5$的两点之间的距离可以表示为$|x+5|$，
故答案为：$|x+5|$；
$(2)\because |x+2|+|x-1|$表示数轴上有理数$x$所对应的点到$-2$和$1$所对应的点的距离之和，$|x+2|+|x-1|=3$，
$\therefore x$为$-2$到$1$之间的整数，这样的整数有$-2$、$-1$、$0$、$1$，
故答案为：$-2$、$-1$、$0$、$1$；
$(3)\because |x+2|+|x-3|+|x-5|+|x+a|$的最小值是$13$，几何意义表示$x$到$-2$，$3$，$5$，$-a$的和为$13$，
由于$-2$与$5$之间的距离为$7$，小于最小值$13$，则$-a \gt 5$或$-a \lt -2$；
①当$-a \gt 5$时，即$a \lt -5$，则$x$在$3$到$5$之间时，最小值为$13$，
$\therefore$原式$=x+2+x-3+5-x-x-a$
$=4-a$
$=13$，
$\therefore a=-9$，
②当$-a \lt -2$时，即$a \gt 2$，
原式$=x+2+3-x+5-x+x+a$
$=a+10=13$，
$\therefore a=3$，
综上所述，$a=3$或$-9$；
$(4)$有最小值，
理由是$|x+6|+|x-13|+2|x-200|$理解为：在数轴上表示$x$到$-6$、$13$、$200$和$200$的距离之和，
$\therefore$当$x$在$13$和$200$之间时，取得最小值，
$|x+6|+|x-13|+2|x-200|=x+6+x-13+2\left(200-x\right)=393$
$\therefore$最小值为：$393$，
$\therefore$符合条件的整数为$13$，$14$，$\ldots \ldots$，$200$；
$\therefore$所有符合条件的整数$x$的和为$\frac{1+200}{2}×200-\frac{1+12}{2}×12=20022$.

（1）数轴上表示$x$与$-5$的两点之间的距离可以表示为$|x+5|$，
故答案为：$|x+5|$；
$(2)\because |x+2|+|x-1|$表示数轴上有理数$x$所对应的点到$-2$和$1$所对应的点的距离之和，$|x+2|+|x-1|=3$，
$\therefore x$为$-2$到$1$之间的整数，这样的整数有$-2$、$-1$、$0$、$1$，
故答案为：$-2$、$-1$、$0$、$1$；
$(3)\because |x+2|+|x-3|+|x-5|+|x+a|$的最小值是$13$，几何意义表示$x$到$-2$，$3$，$5$，$-a$的和为$13$，
由于$-2$与$5$之间的距离为$7$，小于最小值$13$，则$-a \gt 5$或$-a \lt -2$；
①当$-a \gt 5$时，即$a \lt -5$，则$x$在$3$到$5$之间时，最小值为$13$，
$\therefore$原式$=x+2+x-3+5-x-x-a$
$=4-a$
$=13$，
$\therefore a=-9$，
②当$-a \lt -2$时，即$a \gt 2$，
原式$=x+2+3-x+5-x+x+a$
$=a+10=13$，
$\therefore a=3$，
综上所述，$a=3$或$-9$；
$(4)$有最小值，
理由是$|x+6|+|x-13|+2|x-200|$理解为：在数轴上表示$x$到$-6$、$13$、$200$和$200$的距离之和，
$\therefore$当$x$在$13$和$200$之间时，取得最小值，
$|x+6|+|x-13|+2|x-200|=x+6+x-13+2\left(200-x\right)=393$
$\therefore$最小值为：$393$，
$\therefore$符合条件的整数为$13$，$14$，$\ldots \ldots$，$200$；
$\therefore$所有符合条件的整数$x$的和为$\frac{1+200}{2}×200-\frac{1+12}{2}×12=20022$.