$(1)$如图，$\angle ABC$的平分线$BO$以及$BC$边的垂直平分线$PQ$即为所求.

$(2)$证明：连接$OC$，

$\because PQ$为$BC$的垂直平分线，

$\therefore BO=CO$，

$\therefore \angle OBC=\angle OCB$，

$\because BO$平分$\angle ABC$，

$\therefore \angle ABO=\angle CBO$，

$\therefore \angle OCB=\angle ABO$，

$\because CD=BE$，

$\therefore \triangle BOE$≌$\triangle COD\left(SAS\right)$，

$\therefore OD=OE$.

$(1)$如图，$\angle ABC$的平分线$BO$以及$BC$边的垂直平分线$PQ$即为所求.

$(2)$证明：连接$OC$，

$\because PQ$为$BC$的垂直平分线，

$\therefore BO=CO$，

$\therefore \angle OBC=\angle OCB$，

$\because BO$平分$\angle ABC$，

$\therefore \angle ABO=\angle CBO$，

$\therefore \angle OCB=\angle ABO$，

$\because CD=BE$，

$\therefore \triangle BOE$≌$\triangle COD\left(SAS\right)$，

$\therefore OD=OE$.