B

如图$1$，连接$DE$，
$\because OE=OD$，且$\angle DOE=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ODE$为等边三角形，
故①正确；
如图$1$，在$BC$上截取$BF=BO$，连接$OF$、$DF$，
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle OBF$是等边三角形，
$\therefore OB=OF$，$\triangle FOB=\angle OFB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BOE=\angle FOD=60^{\circ}+\angle EOF$，
在$\triangle BOE$和$\triangle FOD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OF}\\{∠BOE=∠FOD}\\{OE=OD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BOE$≌$\triangle FOD\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle OFD=\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \angle DFC=180^{\circ}-\angle OFB-\angle OFD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle DFC=\angle B$，
$\therefore DF$∥$AB$，
$\therefore$点$D$到直线$AB$的距离不变，
故②正确；
如图$2$，点$E$与点$F$重合，延长$FD$交$AC$于点$H$，则$\triangle ODF$是等边三角形，
$\because AB=BC=6$，且$AO=4$，
$\therefore BE=BF=BO=AB-AO=6-4=2$，
$\therefore DF=OF=BF=2$，$CF=BC-BF=6-2=4$，
$\because DF$∥$AB$，
$\therefore \angle FHC=\angle A=60^{\circ}$，
$\therefore \angle FHC=\angle HFC=\angle FCH=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle HFC$是等边三角形，
$\therefore HF=CF=4$，
$\therefore DH=DF=2$，
$\therefore CD\bot HF$，此时$CD$最小，
$\therefore$当$BE=2$时，$CD$最小，
故③错误，
故选：$B$.