学习了等腰三角形的知识后,小南进行了拓展性研究.他发现:过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段,这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高.小南的解决思路是通过计算面积得出结论,请你根据他的想法与思路,完成以下作图与填空:
$(1)$用无刻度的直尺和圆规,过点$C$作$AB$的垂线$CD$,垂足为点$D$,连接$AP.(只保留作图痕迹,不写作法)$
$(2)$已知:如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$PE\bot AB$于点$E$,$PF\bot AC$于点$F$.
求证:$PE+PF=CD$.
证明:
$\because PE\bot AB$,$PF\bot AC$,$CD\bot AB$,
$\therefore {S}_{△APB}=\frac{1}{2}AB•PE$,${S}_{△APC}=\frac{1}{2}AC•PF$,${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•CD$.
$\because S_{\triangle APB}+S_{\triangle APC}=S_{\triangle ABC}$,
$\therefore \frac{1}{2}AB•PE+\frac{1}{2}AC•PF=$①______,
即$AB\cdot PE+AC\cdot PF=AB\cdot CD$.
$\because$②______,
$\therefore AB\cdot \left(PE+PF\right)=AB\cdot CD$,
$\therefore$③______.
由此小南得出结论:过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段,则④______.