$(1)$如图$1$所示：

$\because \angle A=45^{\circ}$，$BF\bot AC$，
$\therefore \triangle ABF$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle 1=\angle A=45^{\circ}$，
$\because \angle ACD=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle 2=\angle A+\angle ACD=67.5^{\circ}$，
$\because BC=CD$，
$\therefore \angle 2=\angle CBD=67.5^{\circ}$，
即$\angle 1+\angle CBF=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle CBF=67.5^{\circ}-\angle 3=22.5^{\circ}$，
故答案为：$22.5$；
$(2)$证明：如图$2$所示：

$\because DE\bot AC$，$BF\bot AC$，
$\therefore \angle BFC=\angle CED=90^{\circ}$，
$\because \triangle ABF$是等腰直角三角形，
$\therefore AF=BF$，$\angle 1=\angle A=45^{\circ}$，
$\because BC=CD$，
$\therefore \angle 2=\angle CBD=\angle 1+\angle 3=45^{\circ}+\angle 3$，
$\because \angle 2=\angle A+\angle ACD=45^{\circ}+\angle ACD$，
$\therefore \angle 3=\angle ACD$，
在$\triangle BFC$和$\triangle CED$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠ACD}\\{∠BFC=∠CED=90°}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BFC$≌$\triangle CED\left(AAS\right)$，
$\therefore CF=DE$；
$(3)$证明：过点$C$作$CH\bot AB$于$H$，如图$3$所示：

$\because \angle A=45^{\circ}$，$AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=67.5^{\circ}$，
$\because BC=CD$，$CH\bot AB$，$\angle ACH=\angle DCH=1/2\angle BCD$，
$\therefore \angle 2=\angle ABC=67.5^{\circ}$，$DH=BH$，
$\therefore \angle 1+\angle 3=\angle ABC=67.5^{\circ}$，
$\because \angle 1=\angle A=45^{\circ}$，
$\therefore \angle 3=22.5^{\circ}$，
$\because \angle 2=\angle A+\angle ACD=65^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle BCD=\angle ACB-\angle ACD=67.5^{\circ}-22.5^{\circ}=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ACH=\angle DCH=\frac{1}{2}\angle BCD=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle DCH=\angle ACD=22.5^{\circ}$，
即$CD$是$\angle ACH$的平分线，
又$\because DE\bot AC$，$CH\bot AH$，
$\therefore DE=DH=BH$，
$\therefore BD=2DH=2DE$，
在$\triangle BDH$中，$\angle 4=180^{\circ}-\left(\angle 1+\angle 2\right)=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle 2=\angle 4=67.5^{\circ}$，
$\therefore BG=BD$，
$\therefore BG=2DE$.

$(1)$如图$1$所示：

$\because \angle A=45^{\circ}$，$BF\bot AC$，
$\therefore \triangle ABF$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle 1=\angle A=45^{\circ}$，
$\because \angle ACD=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle 2=\angle A+\angle ACD=67.5^{\circ}$，
$\because BC=CD$，
$\therefore \angle 2=\angle CBD=67.5^{\circ}$，
即$\angle 1+\angle CBF=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle CBF=67.5^{\circ}-\angle 3=22.5^{\circ}$，
故答案为：$22.5$；
$(2)$证明：如图$2$所示：

$\because DE\bot AC$，$BF\bot AC$，
$\therefore \angle BFC=\angle CED=90^{\circ}$，
$\because \triangle ABF$是等腰直角三角形，
$\therefore AF=BF$，$\angle 1=\angle A=45^{\circ}$，
$\because BC=CD$，
$\therefore \angle 2=\angle CBD=\angle 1+\angle 3=45^{\circ}+\angle 3$，
$\because \angle 2=\angle A+\angle ACD=45^{\circ}+\angle ACD$，
$\therefore \angle 3=\angle ACD$，
在$\triangle BFC$和$\triangle CED$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠ACD}\\{∠BFC=∠CED=90°}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BFC$≌$\triangle CED\left(AAS\right)$，
$\therefore CF=DE$；
$(3)$证明：过点$C$作$CH\bot AB$于$H$，如图$3$所示：

$\because \angle A=45^{\circ}$，$AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=67.5^{\circ}$，
$\because BC=CD$，$CH\bot AB$，$\angle ACH=\angle DCH=1/2\angle BCD$，
$\therefore \angle 2=\angle ABC=67.5^{\circ}$，$DH=BH$，
$\therefore \angle 1+\angle 3=\angle ABC=67.5^{\circ}$，
$\because \angle 1=\angle A=45^{\circ}$，
$\therefore \angle 3=22.5^{\circ}$，
$\because \angle 2=\angle A+\angle ACD=65^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle BCD=\angle ACB-\angle ACD=67.5^{\circ}-22.5^{\circ}=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ACH=\angle DCH=\frac{1}{2}\angle BCD=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle DCH=\angle ACD=22.5^{\circ}$，
即$CD$是$\angle ACH$的平分线，
又$\because DE\bot AC$，$CH\bot AH$，
$\therefore DE=DH=BH$，
$\therefore BD=2DH=2DE$，
在$\triangle BDH$中，$\angle 4=180^{\circ}-\left(\angle 1+\angle 2\right)=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle 2=\angle 4=67.5^{\circ}$，
$\therefore BG=BD$，
$\therefore BG=2DE$.