如图所示，作点$D$关于$AB$的对称点$E$，连接$PE$，$BE$，

则$DB=EB$，$DP=EP$，$\angle ABC=\angle ABE=45^{\circ}$，$\angle CBE=90^{\circ}$，
$D$是$BC$的中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=1$，
$\therefore BE=1$，
$PC+PD=PC+PE$，
$\therefore$当$C$，$P$，$E$在同一直线上时，$PC+PE$的最小值等于$CE$的长，此时，$PC+PD$最小，
$AC=BC=2$，$D$为$BC$的中点，
$\therefore CD=DB=BE$，
又$\angle ACD=\angle CBE=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ACD$≌$\triangle CBE\left(SAS\right)$，
$\therefore CE=AD=\sqrt{5}$，
$\therefore PC+PD$的最小值为$\sqrt{5}$.
故答案为：$\sqrt{5}$.

如图所示，作点$D$关于$AB$的对称点$E$，连接$PE$，$BE$，

则$DB=EB$，$DP=EP$，$\angle ABC=\angle ABE=45^{\circ}$，$\angle CBE=90^{\circ}$，
$D$是$BC$的中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=1$，
$\therefore BE=1$，
$PC+PD=PC+PE$，
$\therefore$当$C$，$P$，$E$在同一直线上时，$PC+PE$的最小值等于$CE$的长，此时，$PC+PD$最小，
$AC=BC=2$，$D$为$BC$的中点，
$\therefore CD=DB=BE$，
又$\angle ACD=\angle CBE=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ACD$≌$\triangle CBE\left(SAS\right)$，
$\therefore CE=AD=\sqrt{5}$，
$\therefore PC+PD$的最小值为$\sqrt{5}$.
故答案为：$\sqrt{5}$.