C

$\because \angle BAC=\angle DAE=\alpha$，
$\therefore \angle BAD=\angle CAE$，且$AB=AC$，$AD=AE$，
$\therefore \triangle BAD$≌$\triangle CAE\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=CE$，故①正确；
$\because \triangle BAD$≌$\triangle CAE$，
$\therefore \angle ABD=\angle ACE$，
$\because \angle BAC=\alpha$，
$\therefore \angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\alpha$，
$\because \angle BPE=\angle PBC+\angle PCB=\angle PBC+\angle ACB+\angle ACP=\angle PBC+\angle ACB+\angle ABP$，
$\therefore \angle BPE=\angle ACB+\angle ABC=180^{\circ}-\alpha$，故②错误；
如图，过点$A$作$AH\bot BD$，$AF\bot CE$，

$\because \triangle BAD$≌$\triangle CAE$，
$\therefore S_{\triangle BAD}=S_{\triangle CAE}$，
$\therefore \frac{1}{2}BD\times AH=\frac{1}{2}CE\times AF$，且$BD=CE$，
$\therefore AH=AF$，且$AH\bot BD$，$AF\bot CE$，
$\therefore AP$平分$\angle BPE$，故③正确；
如图，在线段$PE$上截取$OE=PD$，连接$AO$，

$\because \triangle BAD$≌$\triangle CAE$，
$\therefore \angle BDA=\angle CEA$，且$OE=PD$，$AE=AD$，
$\therefore \triangle AOE$≌$\triangle APD\left(SAS\right)$，
$\therefore AP=AO$，
$\because \angle BPE=180^{\circ}-\alpha =120^{\circ}$，且$AP$平分$\angle BPE$，
$\therefore \angle APO=60^{\circ}$，且$AP=AO$，
$\therefore \triangle APO$是等边三角形，
$\therefore AP=PO$，
$\because PE=PO+OE$，
$\therefore PE=AP+PD$，故④正确.
故选：$C$.