如图，作$BF\bot AC$于$F$，
$\because \angle A=45^{\circ}$，$\angle B=75^{\circ}$，
$\therefore \angle ABF=\angle A=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CBF=30^{\circ}$，
$\therefore BF=AF$，$BC=2FC$，
设$FC=x$，则$AF=b-x$，
$\therefore x=\frac{1}{2}a$，
$\therefore BF=b-\frac{1}{2}a$，
作点$P$关于直线$AB$、直线$AC$的对称点$D$、$E$，连接$DE$交$AB$于$M$，交$AC$于$N$.

$\because \triangle PMN$的周长$=PM+MN+PN=DM+MN+NE$，
$\therefore DM+MN+NE=DE$时，$\triangle PMN$的周长最小，
根据对称性，$AP=AD=AE$，$\angle PAB=\angle DAB$，$\angle PAC=\angle EAC$，
$\therefore \angle DAE=2\left(\angle PAB+\angle PAC\right)=90^{\circ}$，
$\therefore DE=\sqrt{2}AP$，
$\therefore AP$最短时，$\triangle PMN$的周长最短$=\sqrt{2}AP$，
当$AP\bot BC$时，$AP$的值最短，
$\because \angle A=45^{\circ}$，$\angle B=75^{\circ}$，
$\therefore \angle C=60^{\circ}$，
在$Rt\triangle APC$中，$\angle APC=90^{\circ}$，$AC=b$，$\angle C=60^{\circ}$，
$\therefore PC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}b$，
$\therefore BP=a-\frac{1}{2}b$，
$\therefore$当$\triangle PMN$周长最小时，$BP$的值为$a-\frac{1}{2}b$.
故答案为：$a-\frac{1}{2}b$.

如图，作$BF\bot AC$于$F$，
$\because \angle A=45^{\circ}$，$\angle B=75^{\circ}$，
$\therefore \angle ABF=\angle A=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CBF=30^{\circ}$，
$\therefore BF=AF$，$BC=2FC$，
设$FC=x$，则$AF=b-x$，
$\therefore x=\frac{1}{2}a$，
$\therefore BF=b-\frac{1}{2}a$，
作点$P$关于直线$AB$、直线$AC$的对称点$D$、$E$，连接$DE$交$AB$于$M$，交$AC$于$N$.

$\because \triangle PMN$的周长$=PM+MN+PN=DM+MN+NE$，
$\therefore DM+MN+NE=DE$时，$\triangle PMN$的周长最小，
根据对称性，$AP=AD=AE$，$\angle PAB=\angle DAB$，$\angle PAC=\angle EAC$，
$\therefore \angle DAE=2\left(\angle PAB+\angle PAC\right)=90^{\circ}$，
$\therefore DE=\sqrt{2}AP$，
$\therefore AP$最短时，$\triangle PMN$的周长最短$=\sqrt{2}AP$，
当$AP\bot BC$时，$AP$的值最短，
$\because \angle A=45^{\circ}$，$\angle B=75^{\circ}$，
$\therefore \angle C=60^{\circ}$，
在$Rt\triangle APC$中，$\angle APC=90^{\circ}$，$AC=b$，$\angle C=60^{\circ}$，
$\therefore PC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}b$，
$\therefore BP=a-\frac{1}{2}b$，
$\therefore$当$\triangle PMN$周长最小时，$BP$的值为$a-\frac{1}{2}b$.
故答案为：$a-\frac{1}{2}b$.