（1）式子$|x+5|$在数轴上的意义是数轴上表示有理数$x$的点与表示有理数$-5$的点之间的距离，

若$|x+5|=6$则$x$的值为：$1$或$-11$；

故答案为：数轴上表示有理数$x$的点与表示有理数$-5$的点之间的距离，$1$或$-11$；

$(2)$根据题意可得，$|x+3|+|x-1|$的几何意义是数轴上表示有理数$x$的点与表示有理数$-3$的点和与表示有理数$1$的点之间的距离，

$\therefore$当$-3\leqslant x\leqslant 1$时，

即当$x$可以取整数$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$；

故答案为：$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$；

$(3)$根据题意可得，

当$x=-2$时，$|x+2|+|x+6|+|x-1|$的值最小，最小值为$7$；

故答案为：$-2$，$7$；

$(4)$设核酸检测实验室$P$在$x$处，

根据题意可得，核酸样本的运输和包装成本为：$\left|x+5\right|+2\left|x-1\right|+3\left|x-3\right|$，

当$1\leqslant x\leqslant 3时$，$\left|x+5\right|+2\left|x-1\right|+3\left|x-3\right|$取得最小值，此时最低成本$12(元)$，

$\therefore$实验室$P$建在A,$B$两居民区之间（包含A，B）才能使总运输和包装成本最低，最低成本是$12$元.

（1）式子$|x+5|$在数轴上的意义是数轴上表示有理数$x$的点与表示有理数$-5$的点之间的距离，

若$|x+5|=6$则$x$的值为：$1$或$-11$；

故答案为：数轴上表示有理数$x$的点与表示有理数$-5$的点之间的距离，$1$或$-11$；

$(2)$根据题意可得，$|x+3|+|x-1|$的几何意义是数轴上表示有理数$x$的点与表示有理数$-3$的点和与表示有理数$1$的点之间的距离，

$\therefore$当$-3\leqslant x\leqslant 1$时，

即当$x$可以取整数$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$；

故答案为：$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$；

$(3)$根据题意可得，

当$x=-2$时，$|x+2|+|x+6|+|x-1|$的值最小，最小值为$7$；

故答案为：$-2$，$7$；

$(4)$设核酸检测实验室$P$在$x$处，

根据题意可得，核酸样本的运输和包装成本为：$\left|x+5\right|+2\left|x-1\right|+3\left|x-3\right|$，

当$1\leqslant x\leqslant 3时$，$\left|x+5\right|+2\left|x-1\right|+3\left|x-3\right|$取得最小值，此时最低成本$12(元)$，

$\therefore$实验室$P$建在A,$B$两居民区之间（包含A，B）才能使总运输和包装成本最低，最低成本是$12$元.