八年级数学解答题一元一次方程、平行线的性质、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质、三角形的面积｜试题答案与解析

八年级数学解答题一般

题目

如图 $1$ , $\triangle ABC$ 中, $CD\bot AB$ 于 $D$ ,且 $BD:AD:CD=2:3:4$ ,

（1）试说明 $\triangle ABC$ 是等腰三角形；

（2）已知 $S_{\triangle ABC}=10cm^{2}$ ,如图 $2$ ,动点 $M$ 从点 $B$ 出发以每秒 $1cm$ 的速度沿线段 $BA$ 向点 $A$ 运动,同时动点 $N$ 从点 $A$ 出发以相同速度沿线段 $AC$ 向点 $C$ 运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点 $M$ 运动的时间为 $t($ 秒）,

①若 $\triangle DMN$ 的边与 $BC$ 平行,求 $t$ 的值；

②若点 $E$ 是边 $AC$ 的中点,问在点 $M$ 运动的过程中, $\triangle MDE$ 能否成为等腰三角形?若能,求出 $t$ 的值；若不能,请说明理由.

知识点：一元一次方程、平行线的性质、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质、三角形的面积章节：第13章三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

（1）设 $BD=2x$ ， $AD=3x$ ， $CD=4x$ ，

在 $Rt\triangle ACD$ 中， $AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=5x$ ，又 $AB=5x$ ，

$\therefore AB=AC$ ，

$\therefore \triangle ABC$ 是等腰三角形；

$\left(2\right)S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}\times 5x\times 4x=10cm^{2}$ ，

解得， $x=1cm$ ，

则 $BD=2cm$ ， $AD=3cm$ ， $CD=4cm$ ， $AC=5cm$ ，

①当 $MN$ ∥ $BC$ 时， $AM=AN$ ，即 $5-t=t$ ，

$\therefore t=2.5$ ，

当 $DN$ ∥ $BC$ 时， $AD=AN$ ，

则 $t=3$ ，

故若 $\triangle DMN$ 的边与 $BC$ 平行时， $t$ 值为 $2.5$ 或 $3$ .

②当点 $M$ 在 $BD$ 上，即 $0\leqslant t \lt 2$ 时， $\triangle MDE$ 为钝角三角形，但 $DM\neq DE$ ，

当 $t=2$ 时，点 $M$ 运动到点 $D$ ，不构成三角形，

当点 $M$ 在 $DA$ 上，即 $2 \lt t\leqslant 5$ 时， $\triangle MDE$ 为等腰三角形，有 $3$ 种可能.

如果 $DE=DM$ ，则 $t-2=2.5$ ，

$\therefore t=4.5$ ，

如果 $ED=EM$ ，则点 $M$ 运动到点 $A$ ，

$\therefore t=5$ ，

如果 $MD=ME=t-2$ ，则 $\left(t-2\right)^{2}-\left(t-3.5\right)^{2}=2^{2}$ ，

$\therefore t=\dfrac{49}{12}$ ，

综上所述，符合要求的 $t$ 值为 $4.5$ 或 $5$ 或 $\dfrac{49}{12}$ .

解析